4.3. Характер свободного процесса при двух равных корнях
Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня р1 = р2 = -а, то соответствующие слагаемые решения должны быть взяты в таком виде
На рис.23.6 построены пять кривых.
Они показывают
возможный характер изменения функции
при различных знаках постоянных
интегрирования А1
и А2,
а также когда одна из постоянных равна
нулю. Приведенным кривым соответствуют
следующие сочетания значений и знаков
постоянных:
– для кривой 1 – А1 > 0 и А2 > 0;
– для кривой 2 – А1 < 0 и А2 > 0;
– для кривой 3 – А1 > 0 и А2 < 0;
– для кривой 4 – А1 = 0 и А2 > 0;
– для кривой 5 – А1 > 0 и А2 = 0.
4.4. Характер свободного процесса при двух комплексно
сопряженных корнях
Комплексные корни всегда встречаются попарно сопряженными. Так, если один корень р1 = -δ + jω0, то другой р2 = -δ – jω0. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в таком виде
.
(23.10)
Ф
ормула
(23.10) описывает затухающее синусоидальное
колебание (рис. 23.7) при угловой частоте
ω0
и начальной фазе ν.
Огибающая колебания
определяется кривой
.
Чем больше δ, тем быстрее затухает
колебательный процесс. Постоянная А и
начальная фаза ν определяются значениями
параметров схемы, начальными условиями
и величиной Э.Д.С. источника. Угловая
частота ω0 и коэффициент затухания δ
зависят только от параметров цепи после
коммутации.
Лекция 24. Классический метод анализа переходных процессов
Алгоритм расчета переходных процессов в любой линейной электрической цепи содержит следующий порядок действий:
1) выбор условно положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определение значений токов и напряжений непосредственно до коммутации;
3) составление характеристического уравнения и определение его корней;
4) получение выражений для искомых токов и напряжений как функции времени.
К расчету переходных процессов широко применяются:
– классический метод;
– операторный метод;
– метод расчета путем применения интеграла Дюамеля.
Для всех этих методов перечисленные четыре действия являются обязательными. Первые три совершенно одинаковы для всех методов и их следует рассматривать как общие для всех методов. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета. В области электропривода чаще используют классический и операторный методы анализа.
Классическим методом анализа переходных процессов называют метод расчета, в котором решение дифференциального уравнения берут в виде суммы принужденного и свободного решений. Постоянные интегрирования определяют совместным решением системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения и известным значениям свободной составляющей тока и ее производных, взятых при t = (0+).
1. Определение постоянных интегрирования
В КЛАССИЧЕСКОМ МЕТОДЕ
Согласно (23.8) уравнения для любого свободного тока или напряжения можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристического уравнения.
Так, при двух действительных неравных корнях
,
при трех действительных неравных корнях
.
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти:
1) числовое значение искомого свободного тока при t = 0, т. е. iсв(0+),
2) числовое значение
первой
или высших
производных от свободного тока, взятых
при t
= 0.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования А1, А2, …, полагая известными iсв(0+), , и значения корней р1, р2, …
Если характеристическое
уравнение цепи имеет первый порядок,
то
.
Постоянная интегрирования А определяется
по значению свободного тока iсв(0+):
А = iсв(0+). (24.1)
Если характеристическое уравнение имеет второй порядок и корни его действительные и неравные, то
(24.2)
Продифференцируем это уравнение по времени:
.
(24.3)
Учтем, что при t
= 0
.
Тогда, решая уравнения (24.2) и (24.3) для
момента времени t
= 0, получим:
(24.4)
В системе уравнений (24.4) известными являются iсв(0+), , р1 и р2, неизвестными – А1 и А2. Совместное решение уравнений (24.4) относительно А1 и А2 дает
(24.5)
Если корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными, то свободный ток определяют по выражению
(24.6)
Угловая частота ω0 и показатель затухания δ известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных А и ν производят и в этом случае по значениям iсв(0+) и .
Продифференцировав по времени уравнение (24.6), получим
(24.7)
Запишем уравнение (24.7) при t = 0:
Теперь имеем два уравнения :
(24.8)
Для цепи, имеющей уравнение третьего порядка, свободный ток определяется выражением:
. (24.9)
Найдем первую и вторую производные от левой и правой частей уравнения (24.10):
(24.10)
(24.11)
Запишем (24.9), (24.10) и (24.11) при t = 0+:
(24.12)
Система уравнений (24.12) имеет только три неизвестных А1, А2, А3.