4. Зависимость характера свободного процесса от

ЧИСЛА КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Уравнение первой степени всегда имеет отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь:

– два действительных неравных отрицательных корня;

– два действительных равных отрицательных корня;

– два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей степени может иметь:

– три действительных неравных отрицательных корня;

– три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу;

– три действительных равных отрицательных корня;

– один действительный отрицательный корень и два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Общим свойством корней является отрицательное значение их действительной части. Это означает, что свободные токи должны затухать. Скорость затухания определяется значением действительной части корня р. Для примера в таблице 23.1 приведены значения экспоненциальной функции при р = -а = -1, т. е. . Таблица 23.1

at	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
	1	0,905	0,812	0,741	0,67	0,606	0,549	0,5
at	0,8	0,9	1,0	1,5	2	3	4	5
	0,45	0,406	0,368	0,223	0,135	0,05	0,018	0,0067

4.1. Характер свободного процесса при одном корне

Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток определяется выражением

,

где р = -а зависит только от параметров цепи, А – от параметров цепи, Э.Д.С. и момента включения.

Х арактер изменения i_св при А > 0 показан на рис. 23.4. За интервал времени функция уменьшается в е = 2,71 раза. Действительно

.

Величину принято называть постоянной времени цепи. Постоянная цепи τ зависит от вида и параметров схемы. Так, для цепи рис. 22.1, а , для цепи рис. 22.1, б и т. д.

4.2. Характер свободного процесса при двух действительных

неравных корнях

Пусть р₁ = - а и р₂ = - b. Для определенности положим b > a, тогда

.

Характер изменения свободного тока при различных по величине и знаку постоянных интегрирования А₁ и А₂ качественно иллюстрируется кривыми рис. 23.5, а÷г.

На рисунке применены обозначения: 1 – функция , 2 – функция , результирующая функция i_св выделена жирной линией. Она получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2.

Графики соответствуют следующему сочетанию постоянных:

– для рис. 23.5, а А₁ > 0 и А₂ > 0;

– для рис. 23.5, б А₁ > 0, A₂ < 0, |A₂| > A₁;

– для рис. 23.5, в А₁ > 0, A₂ < 0, |A₂| < A₁;

– для рис. 23.5, г А₁ > 0, A₂ < 0, |A₂| = A₁.