2.1. Составление характеристического уравнения по
определителю системы
Допустим, что р известно. Тогда каноническая форма решения системы (23.3) относительно i1св, i2св, i3св будет иметь вид:
где Δ – определитель системы. Для (23.3)
,
Δ1 получим из определителя системы Δ путем замены первого столбца правой частью уравнений (23.3):
,
Δ2 получим из определителя системы Δ путем замены второго столбца правой частью уравнений (23.3) и т.д.
Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно Δ1 = Δ2 = Δ3 =0 и
(23.4)
т. е. все свободные токи равны нулю. Полученный результат противоречит физической сути переходного процесса. Ведь если все свободные токи равны нулю, то нет и переходного процесса.
В (23.4) свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, если определитель системы Δ также равен нулю
Δ = 0. (23.6)
При этом каждый из токов представляет неопределенность
раскрыв которую, можно получить действительное значение каждого свободного тока.
Существенно важным является тот факт, что определитель алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю. Уравнение (23.6) называют характеристическим. Единственным неизвестным в нем является р.
Пример. Используя уравнение (23.3), составить характеристическое уравнение для схемы рис. 23.1 и найти его корни.
Решение.
Определитель системы
Характеристическое уравнение
Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следовательно,
(23.7)
Корни квадратного уравнения
Если характеристическое уравнение будет иметь не один корень, а несколько, например n, то для каждого свободного тока нужно взять сумму
(23.8)
2.2. Составление характеристического уравнения по
выражению для входного сопротивления цепи
Выражение для входного сопротивления Z(jω) может быть положено в основу характеристического уравнения. Для этого достаточно заменить в нем jω на р и приравнять Z(p) нулю.
Уравнение Z(p)= 0 всегда будет совпадать с характеристическим. Убедимся в этом.
Для схемы рис. 23.1 входное сопротивление относительно зажимов ab при синусоидальном токе определяется выражением
Заменим в нем jω на р и приравняем нулю:
Отсюда
или
(23.9)
Выражения (23.7) и (23.9) полностью совпадают.
3. Дополнительные определения в теории
ПЕРЕХОДНЫХ ПОЦЕССОВ
Для сложных схем с большим числом накопителей энергии число независимых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае используют не все независимые начальные условия, а часть из них, называемых основными.
Основными независимыми начальными условиями называют те токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные условия называют неосновными.
Так в схеме рис. 23.2 три индуктивности и одна емкость, т. е. всего четыре независимых начальных условия.
Характеристическое уравнение для этой схемы имеет вид
Видим, что уравнение имеет третий порядок. Следовательно, из четырех независимых начальных условий
i1(0+); i2(0+); i3(0+); uC(0+)
основными могут быть только три. При выборе основных допускается произвол.
Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать по ее топологии. Степень уравнения равна числу основных независимых начальных условий в схеме после максимального ее упрощения и не зависит от вида источника электрической энергии.
Упрощение схемы состоит в том, что последовательно и параллельно соединенные индуктивности и емкости должны быть заменены одной эквивалентной индуктивностью или эквивалентной емкостью.
Для примера
обратимся к схеме рис. 23.3, а.
Последовательно включенные в схеме
индуктивности
и
следует заменить на эквивалентную
индуктивность
,
если между ними есть магнитная связь.
Если магнитной
связи нет, то М
= 0.
Емкости
,
и С4
Следует заменить на
эквивалентную емкость
.
Начальное значение напряжения на емкости С5 равно начальному значению напряжения на емкости С4.
В результате упрощений схемы рис. 23. 3, а получаем схему рис. 23.3, б, в которой две индуктивности и одна емкость. Все три независимые начальные значения – основные. Следовательно, порядок характеристического уравнения – третий.
Две параллельно соединенные индуктивности L1 и L2 (без учета активных сопротивлений), между которыми есть взаимная индуктивность М, с начальными значениями токов i1(0) и i2(0) могут быть заменены одной эквивалентной
.
Минус в знаменателе соответствует согласному, плюс – встречному включению. Начальное значение тока через LЭ равно сумме i1(0) + i2(0).
Важно помнить, что порядок характеристического уравнения не зависит от того, имеется или отсутствует магнитная связь между индуктивностями.