Лекция 23. Переходные процессы в разветвленных электрических цепях

1. Составление уравнений для свободных

ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

В основу анализа переходных процессов схем любой сложности положено применение законов Кирхгофа. Последовательность действий обычная: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для них положительные направления; затем составляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Так, для схемы рис. 23.1 после выбора положительных направлений для токов уравнения имеют вид:

(23.1)

В этих уравнениях i₁, i₂ и i₃ – полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов.

Переходные процессы возникают из-за появления свободных составляющих токов и напряжений. Определение свободных токов и напряжений часто представляет основную цель анализа переходных процессов. Целесообразно от системы уравнений (23.1) перейти к уравнениям для свободных токов. Для перехода необходимо и достаточно в (23.1) исключить вынуждающие Э.Д.С., а вместо i₁ записать i_1св, вместо i₂ – i_2св и т. д. Тогда получим:

(23.2)

Видим, что для любого контура сумма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нулю. Вывод справедлив для любой электрической цепи.

1.1. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов

Решение системы уравнений (23.2) затрудняется в силу необходимости выполнения операций дифференцирования и интегрирования. Замена этих операций на простые действия умножения и деления может значительно упростить решение задачи. Возможность такой замены обусловлена тем, что решение однородного дифференциального уравнения записывается в виде показательной функции В силу этого, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока имеет свое значение, а показатели затухания р одинаковы. Это объясняется тем, что вся цепь охвачена общим переходным процессом.

Учитывая изложенное, определим производную от свободного тока:

Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на произведение р·i_св, а производную от свободного напряжения на индуктивности – на произведение L·р·i_св.

Найдем интеграл от свободного тока:

Постоянная интегрирования здесь принята равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых.

Теперь очевидно, что интеграл от свободного тока можно заменить на отношение , а интеграл от свободного напряжения на конденсаторе – отношение .

В систему дифференциальных уравнений (23.2) подставим L·р·i_св вместо и вместо . Тогда получим:

(23.3)

Уравнения (23.3) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно i_1св, i_2св, i_3св и в отличие от исходной системы не содержат производных и интегралов.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов.

2. Характеристическое уравнение системы

Решение системы уравнений вида (23.3) относительно i_1св, i_2св, i_3св не представляет сложностей, если известны показатели затухания р. Однако р неизвестны и оказывается, что число неизвестных больше числа уравнений в системе. Для нахождения свободных токов в систему нужно добавить еще одно уравнение, которое позволяло бы определить показатели затухания. Такое уравнение называют характеристическим.