2.2. Подключение индуктивности к источнику

постоянного напряжения

Пусть задана цепь, приведённая на рис. 22.5. Для такой цепи справедливо выражение

. (22.4)

Частное решение этого уравнения имеет вид:

. (22.5)

Однородное уравнение получают из (22.4) с учетом до коммутационных начальных условий:

. (22.6)

Общим решением (22.6) является показательная функция вида , причем А – постоянный коэффициент, p – корень характеристического уравнения.

.

Так как при U = 0 i_у = 0, то выражение (22.6) принимает вид

R_к + L∙P = 0,

откуда

.

Переходный ток определяется как сумма составляющих:

. (22.7)

Согласно первому закону коммутации при t = 0 ток i(t) также равен нулю. Поэтому (22.7) приходит к виду

,

откуда

.

Подставляя значение А в (22.7) получаем окончательное решение:

(22.8)

где τ = L/R_к – постоянная цепи.

Графики i(t), u_L(t) и u_R(t) приведены на рис. 22.6.

Напряжение на резистивном элементе пропорционально току (рис. 22.6, б)

а на индуктивности

2.3. Отключение индуктивности от источника

постоянного напряжения

Р ассмотрим переходный процесс при отключении источника постоянного напряжения от цепи рис. 22.7. Допустим, что ключ К находится в положении 1 достаточно долго, так, что цепь перешла в установившейся режим. В установившемся режиме сила тока ограничена только сопротивлением провода катушки индуктивности – R_к, и равна . Переведем ключ К в положение .

Согласно закону коммутации ток через индуктивность после отключения источника остается равным i_у = . Выражение (22.6) принимает вид:

Так как источник отсутствует, принужденной составляющей тока нет. В цепи протекает только свободная составляющая тока

,

где τ′ = L/(R + R_k) – постоянная цепи после переключения ключа К, А = i₀.

Если R = n∙R_k, то падение напряжения на нем в первый момент после коммутации окажется в n раз больше напряжения источника. Такой бросок напряжения может привести к аварийной ситуации в цепи. Это следует иметь в виду при проектировании, расчете и эксплуатации цепей с индуктивностью.

2.4. Подключение индуктивности к источнику

синусоидального напряжениия

Пусть в цепь с индуктивностью (рис. 22.1, а)включён источник синусоидального напряжения u(t) = U_m·sin (ωt + ψ_u).

Установившийся ток определяется выражением:

i_у = I_m·sin (ωt + ψ_u - φ).

Свободная составляющая переходного тока имеет тот же вид, что и для цепи с источником постоянного напряжения:

.

Переходный ток в цепи

. (22.9)

С учётом начальных условий, при t = 0 i_пер = 0 и (22.9) принимает вид

.

Отсюда

,

,

а

.

Графики зависимости от времени напряжения источника u, установившегося i_у, свободного i_св и переходного i_пер токов приведены на рис. 22.8, а.

Они показывают, что начальное значение свободного тока зависит от момента включения, т. е. от начальной фазы напряжения – ψ_u. Если ψ_u – φ = 0, то i_св = 0. В этом случае коммутация не повлечёт переходного процесса. Сразу же после включения переходный ток будет равен установившемуся

i_у = I_m·sin (ωt + ψ_u - φ).

При ψ_u – φ ≠ 0 имеет место переходный режим, при котором в определенную часть периода установившийся и свободный токи имеют одинаковые знаки. Разница между i_пер и i_у зависит от начального значения и постоянной τ. При условии ψ_i = ψ_u – φ = 90° начальное значение свободного тока максимально и равно I_m. Если τ значительно больше периода напряжения и при ψ_i = ψ_u – φ = 90° максимальное значение переходного тока может почти в два раза превысить амплитуду установившегося тока (рис. 22.8, б).