3. Одиночный импульс и интеграл фурье

В практике электротехники часто используются непериодические несинусоидальные сигналы. Чтобы перейти от представления рядом Фурье периодической функции, к определению спектра непериодической функции определим спектр одиночного импульса. Для этого допустим, что при определении величины (ωt) = период Т→∞. Допущение приводит к необходимости преобразовать величину стоящую в формуле (16.11) под знаком суммы. С этой целью произведение i·ω₀ заменим на ω и под ω будем понимать непрерывно изменяющуюся величину, заменим на . Тогда получим:

Обозначим

(16.12)

Формула (16.12) даёт возможность выразить функцию частоты S(jω) через функцию времени u(t) и называется прямым преобразованием Фурье, а величина S(jω) – спектром функции u(t).

Проведём аналогичную замену в формуле (16.11). Величину

заменим на и учтём, что при изменении i от -∞ до +∞ частота ω также изменяется от -∞ до +∞. Следовательно

Заменив сумму интегралом, получим

(16.13)

Формула (16.13) представляет обратное преобразование Фурье. Она выражает непериодическую функцию u(t) в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами.

Для примера, найдём S(jω) для одиночного прямоугольного импульса амплитудой U_m и длительностью τ_и (рис. 9.4, а).

Применяем формулу (16.12)

Модуль спектра определяется выражением:

.

График этой функции приведён на рис. 16.4, б. Пунктиром показана огибающая.

4. Свойства периодических функций,

ОБЛАДАЮЩИХ СИММЕТРИЕЙ

На рис. 16.5 приведены три функции, обладающие свойствами симметрии. Если функцию рис. 16.5, а сместить по оси ωt на половину периода и зеркально отразить относительно оси ωt, то полученная кривая совпадёт с кривой u(ωt), т. е. u(ωt) = - u(ωt + π)

П ри разложении таких функций в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и чётные гармоники, т. е. в (16.1) равны нулю коэффициенты

а ₀ = а₂ = b₂ = a₄ = b₄ = 0.

Кривые, подобные рис. 16.5, б обладают симметрией относительно оси ординат и удовлетворяют условию u(-ωt) =u(ωt).

Если часть кривой рис. 16.5, б, лежащей левее оси ординат, зеркально отразить относительно оси ординат, то она совпадёт с частью кривой, лежащей правее оси ординат.

П ри разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные составляющие, т. е.

.

Кривые, подобные рис. 16.5, в удовлетворяют условию

-u(-ωt) =u (ωt).

Такие кривые обладают симметрией относительно начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет вид

.

5. Графический (графоаналитический) методы

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГАРМОНИК РЯДА ФУРЬЕ

Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене в (16.2) ÷ (16.3, б)определённого интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции u(ωt), равный 2π, разбивают на n равных частей ∆ω

,

интегралы заменяют суммами, а dω на ∆ω.

По определению, постоянная составляющая

или

(16.14)

где u(k∆ω) – значение функции u(ωt) в середине k – го интервала.

Амплитуда синусной составляющей i – й гармоники ряда

или

. (16.15)

Амплитуда косинусной составляющей i – й гармоники

(16.16)

В (16.15) и (16.16) sin (ik∆ω) и cos (ik∆ω) – значение синусной и косинусной функций в середине k – го интервала.

При расчётах по формулам (16.14) – (16.15) требуемая точность достигается при делении периода на n = 24 или 18 частей.

Прежде чем производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли функция симметрией. Наличие того или иного вида симметрии позволяет предсказать, какие гармоники следует исключить. Так, если кривая u(ωt) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая U₀ и все чётные гармоники отсутствуют, кроме того, следует учитывать, что сумма за первый полупериод равна сумме за второй полупериод.

Знак углов φ_i в формуле (16.4) зависит от знаков а_i и b_i. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для i – ой гармоники должен быть в i раз больше, чем для первой гармоники. Если, например, некоторый отрезок по оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол π / 3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол в три раза больший, т. е. π.

Пример. Найти первую и третью гармоники функции u(ωt), изображённой на рис. 16.6, а. Значения ординат функции u_к (ωt) за первый полупериод при разбивке периода на n = 24 части следующие

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
u(k∆ω)	2	2,7	3	3,5	4,5	6	8	12	15	14,5	6,7	0

Решение. Функция симметрична относительно оси абсцисс. Это означает, что U₀ =0 и ряд будет состоять только из нечётных гармоник.

Определяем амплитуду синусной составляющей первой гармоники:

Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники

Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники

.

Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники

Амплитуда первой гармоники ряда (16.4) определяется выражением Фазу первой гармоники определим как угол φ₁, на который начало первой гармоники смещено по отношению к началу кривой рис. 16.6, а:

Амплитуда третьей гармоники ряда (16.4)

Фаза

Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой ряда, то

На рис. 16.6, б изображены первая и третья гармоники ряда Фурье, а также суммарная кривая.