3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. В данном примере
откуда получим:
Значит, данное уравнение в полных дифференциалах. Поэтому существует функция для которой выполняется равенство:
Составим и решим систему уравнений:
Проинтегрируем по первое уравнение, считая постоянным:
(*)
Определим функцию
используя второе
уравнение системы:
где
произвольная
постоянная.
Подставим в равенство (*):
Таким образом, общим интегралом данного уравнения будет:
Ответ:
Пример 2. Решить задачу Коши:
Решение. Проверим выполнение условия
и
.
Следовательно, заданное уравнение в полных дифференциалах. Составим систему уравнений относительно неизвестной функции для которой выполняется равенство:
Тогда:
(**)
Найдем функцию используя второе уравнение системы:
где произвольная постоянная.
Подставим найденную в (**):
Таким образом, общий интеграл данного уравнения можно записать:
Найдем число
так, чтобы выполнялось условие:
Следовательно,
решение задачи Коши находится из общего
решения при
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение:
Решение.
Проверим
условие
Следовательно,
это уравнение не является уравнением
в полных дифференциалах. Проверим
выполнение условий теоремы 1 существования
интегрирующего множителя
Таким образом,
интегрирующий множитель вида
существует и
находится по формуле:
Умножим заданное уравнение на найденную функцию и получим уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой
(***)
где произвольная постоянная.
Подставим
в равенство (***):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
При переходе от
заданного уравнения к уравнению в
полных дифференциалах было потеряно
решение
(при делении на
).
Но оно входит в полученное семейство
при
Ответ:
Пример 4. Решить уравнение:
Решение.
Проверим условие
Следовательно,
это уравнение не является уравнением
в полных дифференциалах. Проверим
выполнение условий теоремы 2 существования
интегрирующего множителя
Таким образом,
интегрирующий множитель вида
существует и находится по формуле:
Умножим заданное
уравнение на
и решим полученное
уравнение в полных дифференциалах:
Поэтому существует для которой выполняется равенство:
(****)
где произвольная постоянная.
Подставим найденную функцию в выражение (****):
Тогда общий интеграл запишется в виде:
Следовательно, это общий интеграл заданного уравнения.
Ответ:
