3. Примеры с решениями
Пример 1. Решить систему:
Решение. Решим эту систему методом вариации произвольных постоянных.
1) Найдем общее решение соответствующей ЛОДС:
Ее характеристическое
уравнение имеет вид:
Тогда общее решение ЛОДС составляют функции:
где
произвольные
постоянные,
постоянные,
которые надо выразить через
с помощью подстановки
во второе уравнение ЛОДС:
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах этого
равенства, получим выражения для
через
:
Итак, общее решение ЛОДС имеет вид:
2) Найдем частное решение ЛНДС по методу вариации произвольных постоянных:
(*)
Для нахождения
функций
составим систему уравнений:
где
любая
постоянная, пусть
тогда:
где
любая
постоянная, пусть
тогда:
Подставим
в (*):
Упростим
и
:
Итак, частное решение ЛНДС составляют функции:
3) Запишем общее решение ЛНДС:
Пример 2. Решить систему:
в матричном виде.
Решение.
Обозначения:
Тогда данная система запишется в матричном виде:
1) Сначала решим однородную систему:
Ее характеристическое уравнение:
Найдем собственные векторы для каждого собственного значения матрицы А.
Пусть
соответствует вектор
Тогда
Значит:
т.е.
Пусть
соответствует вектор
Тогда
Значит:
т.е.
Итак, фундаментальная система решений ЛОДС:
Тогда фундаментальная матрица Ф(x) для ЛОДС имеет вид:
Следовательно, общее решение ЛОДС запишется в виде:
где
и
– произвольные постоянные.
2) Методом вариации произвольных постоянных найдем частное решение ЛНДС:
Тогда
Вычислим
Значит:
Вычислим интегралы:
В результате получим:
Получили частное решение ЛНДС:
Следовательно, можно записать общее решение ЛНДС:
Пример 3. Решить систему:
Решение.
1) Решим соответствующую ЛОДС:
Ее характеристическое
уравнение имеет вид:
Пусть общим решением ЛОДС будут функции:
где
произвольные
постоянные,
постоянные,
которые надо выразить через
с помощью подстановки
в первое уравнение ЛОДС:
Приравняем
коэффициенты при
и
Следовательно, общее решение ЛОДС составляют функции:
2) Найдем частное решение ЛНДС методом неопределенных коэффициентов.
где
матрица-столбец
из многочленов первой степени (m=1).
Подставляя
,
,
,
в заданную систему (ЛНДС) и приравнивая
в полученных равенствах коэффициенты
при подобных слагаемых, получим систему
относительно неизвестных
,
,
,
:
Разделим оба
уравнения на
3) Следовательно, общее решение данной ЛНДС составят функции:
Пример 4. Решить систему:
Решение. В данной системе неизвестных функций три:
1) Найдем общее решение соответствующей однородной системы:
Ее характеристическое уравнение имеет вид:
кратности
2
Пусть
фундаментальная
система решений ЛОДС.
Тогда общее решение ЛОДС можно записать следующим образом:
где
,
,
произвольные
постоянные.
Итак, общее решение ЛОДС составляют три функции:
2) Найдем частное решение ЛНДС методом неопределенных коэффициентов.
Отсюда следует, что частное решение ЛНДС будем подбирать следующим образом:
где
и
неизвестные
матрицы-столбцы из различных чисел.
Найдем
и
подставляя в ЛНДС.
Так как
то
Значит, частное решение ЛНДС найдено:
3) Запишем общее решение ЛНДС:
Пример 5. Решить задачу Коши:
Решение.
1) Решим соответствующую ЛОДС:
Ее характеристическое уравнение имеет вид:
Если
,
то
Если
,
то
Тогда
Общее решение ЛОДС запишется в виде:
Следовательно, общее решение ЛОДС составляют функции:
где и произвольные постоянные.
2) Найдем частное решение ЛНДС.
Так как
то
Подставим
и
в ЛНДС (матричного вида):
(*)
где
,
Пусть
тогда
(**)
Пусть
тогда
Значит,
Частное решение ЛНДС запишется в виде:
3) Следовательно, общее решение ЛНДС задается двумя функциями:
4) Найдем решение
задачи Коши. Подставим условия
в общее решение:
Найденные значения
подставим в общее решение:
решение задачи
Коши.
