
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)
- •Оглавление
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Однородное уравнение первого порядка: определение и метод его решения
- •Метод решения однородного уравнения
- •Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
- •2. Примеры с решениями
- •3. Примеры
- •4. Ответы
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •1. Определения и методы решения
- •Метод решения лнду
- •Уравнение Бернулли
- •2. Примеры с решениями
- •3. Примеры
- •4. Ответы
- •§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем
- •1. Определение и метод решения уравнения в полных дифференциалах
- •Алгоритм нахождения функции u(X;y)
- •2. Уравнения с интегрирующим множителем
- •Условия существования интегрирующего множителя
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Метод Эйлера для решения лоду с постоянными коэффициентами
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
- •2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольных постоянных
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Основные понятия
- •2. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •3. Лнду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4. Примеры с решениями
- •5. Примеры
- •6. Ответы
- •Глава 3. Линейные дифференциальные системы
- •§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения
- •1. Основные понятия
- •2. Метод исключения
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •1. Метод Эйлера для решения лодс второго порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Системы однородных дифференциальных уравнений более высоких порядков с постоянными коэффициентами
- •Алгоритм построения общего решения системы (5)
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •1. Основные понятия
- •2. Метод вариации произвольных постоянных
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)
- •125047, Москва, Миусская пл., 9
4. Примеры
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Решить дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
5. Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
1. Основные понятия
Определение 1. Уравнение вида:
(1)
где
заданные действительные числа,
неизвестная
функция,
ее
производные до n-го
порядка включительно,
непрерывная на промежутке функция, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка.
Если
для всех
то уравнение (1) называется линейным
однородным дифференциальным уравнением
(ЛОДУ) n-го
порядка,
соответствующим уравнению (1). Такое
уравнение имеет вид:
.
(2)
Для нахождения
общего решения ЛОДУ достаточно найти
n
линейно независимых на промежутке
решений
Определение
2. Функции
на промежутке
называются линейно
независимыми,
если тождество:
для всех
может выполняться только при
Такую систему линейно независимых решений ЛОДУ называют фундаментальной.
Если найдена фундаментальная система решений ЛОДУ, то общее решение этого уравнения записывается в виде:
где
произвольные
постоянные.
Общее решение ЛНДУ (1) задается формулой:
где
фундаментальная
система решений соответствующего ЛОДУ
(2),
произвольные
постоянные,
некоторое
частное решение ЛНДУ (1).
2. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение (2):
Его характеристическое уравнение имеет вид:
(3)
Рассмотрим возможные случаи, возникающие при решении уравнения (3).
1) Все корни
уравнения (3) действительные и различные,
обозначим их
Тогда фундаментальную систему решений
ЛОДУ составят функции:
а общее решение этого уравнения имеет вид:
где произвольные постоянные.
2) Все корни
характеристического уравнения (3)
различны, но среди них имеется комплексный
корень
тогда
тоже будет корнем этого уравнения. Этой
паре корней соответствует пара линейно
независимых решений:
Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).
3) Среди корней
характеристического уравнения имеются
кратные корни. Пусть
действительный
кратный
корень. Тогда ему соответствует
линейно независимых решений вида:
а в формуле общего решения будут
слагаемые вида
4) Если
комплексный корень характеристического
уравнения (3) кратности
,
то ему и сопряженному с ним корню
той же кратности
соответствуют
линейно независимых решений вида:
Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).