Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Obyknovennye-dif_ur-nia-i-sistemy-primery-i-zad...doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
5.92 Mб
Скачать

4. Примеры

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Решить дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

5. Ответы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

1. Основные понятия

Определение 1. Уравнение вида:

(1)

где заданные действительные числа, неизвестная функция, ее производные до n-го порядка включительно,

непрерывная на промежутке функция, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка.

Если для всех то уравнение (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка, соответствующим уравнению (1). Такое уравнение имеет вид:

. (2)

Для нахождения общего решения ЛОДУ достаточно найти n линейно независимых на промежутке решений

Определение 2. Функции на промежутке называются линейно независимыми, если тождество:

для всех может выполняться только при

Такую систему линейно независимых решений ЛОДУ называют фундаментальной.

Если найдена фундаментальная система решений ЛОДУ, то общее решение этого уравнения записывается в виде:

где произвольные постоянные.

Общее решение ЛНДУ (1) задается формулой:

где фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ (2), произвольные постоянные, некоторое частное решение ЛНДУ (1).

2. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение (2):

Его характеристическое уравнение имеет вид:

(3)

Рассмотрим возможные случаи, возникающие при решении уравнения (3).

1) Все корни уравнения (3) действительные и различные, обозначим их Тогда фундаментальную систему решений ЛОДУ составят функции:

а общее решение этого уравнения имеет вид:

где произвольные постоянные.

2) Все корни характеристического уравнения (3) различны, но среди них имеется комплексный корень тогда тоже будет корнем этого уравнения. Этой паре корней соответствует пара линейно независимых решений:

Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).

3) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Пусть действительный кратный корень. Тогда ему соответствует линейно независимых решений вида: а в формуле общего решения будут слагаемые вида

4) Если комплексный корень характеристического уравнения (3) кратности , то ему и сопряженному с ним корню той же кратности соответствуют линейно независимых решений вида:

Записав линейно независимые решения ЛОДУ (2), соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (3), получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее решение уравнения (2).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]