
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)
- •Оглавление
- •Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Однородное уравнение первого порядка: определение и метод его решения
- •Метод решения однородного уравнения
- •Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
- •2. Примеры с решениями
- •3. Примеры
- •4. Ответы
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •1. Определения и методы решения
- •Метод решения лнду
- •Уравнение Бернулли
- •2. Примеры с решениями
- •3. Примеры
- •4. Ответы
- •§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем
- •1. Определение и метод решения уравнения в полных дифференциалах
- •Алгоритм нахождения функции u(X;y)
- •2. Уравнения с интегрирующим множителем
- •Условия существования интегрирующего множителя
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •1. Основные понятия
- •2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Метод Эйлера для решения лоду с постоянными коэффициентами
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
- •2. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом вариации произвольных постоянных
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •1. Основные понятия
- •2. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •3. Лнду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •4. Примеры с решениями
- •5. Примеры
- •6. Ответы
- •Глава 3. Линейные дифференциальные системы
- •§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения
- •1. Основные понятия
- •2. Метод исключения
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •1. Метод Эйлера для решения лодс второго порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Системы однородных дифференциальных уравнений более высоких порядков с постоянными коэффициентами
- •Алгоритм построения общего решения системы (5)
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •1. Основные понятия
- •2. Метод вариации произвольных постоянных
- •3. Примеры с решениями
- •4. Примеры
- •5. Ответы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)
- •125047, Москва, Миусская пл., 9
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский химико-технологический университет
имени Д. И. Менделеева
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)
Утверждено Редакционным советом
университета в качестве учебного пособия
Москва
2013
УДК 517.91 (075)
ББК 22.161.6
О-30
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Т. В. Ригер, Т. В. Хлынова,
М. С. Казанчян, А. Г. Ситин
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева
В. М. Аристов
Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева
Л. С. Гордеев
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и
О-30 задачи): учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Т. В.
Ригер, Т. В. Хлынова, М. С. Казанчян, А. Г. Ситин; под ред. Е. Г.
Рудаковской, М. Ф. Рушайло. – М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2013. –
116 с.
ISBN 978-5-7237-1118-1
Предложен цикл практических занятий по темам: дифференциальные уравнения первого, второго и n-го порядков, системы линейных дифференциальных уравнений. В каждой теме кратко приведен теоретический материал, разобраны примеры с решениями и предложены примеры для самостоятельного решения с ответами. Пособие может быть использовано на семинарских занятиях, а также для самостоятельной работы, при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.
Предназначается для студентов всех специальностей, обучающихся в РХТУ имени Д. И. Менделеева, так как данный курс является необходимым элементом математического образования студентов технических специальностей, имеющим большое прикладное значение.
УДК 517.91 (075)
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-7237-1118-1 © Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2013
Оглавление
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5
§1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 5
§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 10
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли 16
§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем 22
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 30
§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 30
§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 37
§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 42
§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 54
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 61
n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 61
§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения 61
§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 67
§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 78