МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Российский химико-технологический университет

имени Д. И. Менделеева

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и задачи)

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

Москва

2013

УДК 517.91 (075)

ББК 22.161.6

О-30

Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Т. В. Ригер, Т. В. Хлынова,

М. С. Казанчян, А. Г. Ситин

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

В. М. Аристов

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (примеры и

О-30 задачи): учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, Т. В.

Ригер, Т. В. Хлынова, М. С. Казанчян, А. Г. Ситин; под ред. Е. Г.

Рудаковской, М. Ф. Рушайло. – М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2013. –

116 с.

ISBN 978-5-7237-1118-1

Предложен цикл практических занятий по темам: дифференциальные уравнения первого, второго и n-го порядков, системы линейных дифференциальных уравнений. В каждой теме кратко приведен теоретический материал, разобраны примеры с решениями и предложены примеры для самостоятельного решения с ответами. Пособие может быть использовано на семинарских занятиях, а также для самостоятельной работы, при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Предназначается для студентов всех специальностей, обучающихся в РХТУ имени Д. И. Менделеева, так как данный курс является необходимым элементом математического образования студентов технических специальностей, имеющим большое прикладное значение.

УДК 517.91 (075)

ББК 22.161.6

ISBN 978-5-7237-1118-1 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2013

Оглавление

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5

§1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 5

§2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 10

§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли 16

§4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения с интегрирующим множителем 22

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 30

§1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 30

§2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 37

§3. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 42

§4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 54

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 61

n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 61

§1. Линейные дифференциальные системы n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод исключения 61

§2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 67

§3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 78