Тема 11. Индексный метод анализа

Одним из важнейших методов статистического анализа является индексный метод.

Слово «индекс» в переводе с латинского означает – показатель, указатель. В статистике под индексом понимается относительный показатель, который выражает соотношение величин какого-либо явления во времени, в пространстве или сравнение фактических данных с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т.д.).

Классификация индексов:

1) в зависимости от изучаемого объекта:

– количественные;

– качественные;

2) в зависимости от степени охвата единиц совокупности:

– индивидуальные;

– общие;

3) в зависимости от метода построения:

– преобразованные;

– агрегатные;

4) в зависимости от факторов, влияющих на индекс:

– переменного состава;

–постоянного состава;

– структурных сдвигов;

5) в зависимости от базы сравнения:

– цепные;

– базисные.

В международной практике индексы принято обозначать символами i и I (начальная буква латинского слова index). Буквой «i» - обозначаются индивидуальные (частные) индексы, буквой «I» - общие индексы. Знак внизу справа означает период: 0 – базисный; 1 – отчетный. Помимо этого используются определенные символы для обозначения индексируемых показателей:

q – количество (объем) товара в натуральном выражении;

p – цена единицы товара;

z – себестоимость единицы продукции;

t – затраты времени на производство единицы продукции;

w – выработка продукции в стоимостном выражении на одного рабочего или в единицу времени;

v – выработка продукции в натуральном выражении на одного рабочего в единицу времени;

Т – общие затраты времени (tq) или численность рабочих;

pq – стоимость продукции или оборот торговли;

zq – издержки производства.

Индивидуальные индексы получают в результате сравнения однотоварных явлений. Например, индекс цен на мясо определяется как отношение цены на этот товар в текущем периоде к цене базисного периода.

Индекс физического объема продукции i_q рассчитывается по формуле:

. (11.1)

Индивидуальный индекс цен:

(11.2)

характеризует изменение цены одного определенного товара в текущем периоде по сравнению с базисным.

Агрегатный индекс – сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.

Латинское слово «агрегат» (aggregatus) означает «складываемый, суммируемый». Особенность этой формы индекса состоит в том, что в агрегатной форме непосредственного сравниваются две суммы одноименных показателей.

Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается (цена товаров, курс акций, затраты рабочего времени на производство продукции, количество проданных товаров и т.д.). Вес индекса – это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

Индекс оборота розничной торговли – относительный показатель, который характеризует изменение стоимости совокупности проданных товаров населению в текущем периоде по срав­нению с базисным за счет совместного влияния изменений количества и цен:

, (11.3)

где Ipq – индекс оборота розничной торговли в фактических ценах;

– оборот розничной торговли отчётного периода в фактических ценах;

– оборот розничной торговли базисного периода в фактических ценах.

Для того, чтобы исключить влияние изменения цен используют общий индекс физического объёма оборота розничной торговли.

Индекс физического объема продукции – это индекс количественного показателя. В этом индексе индексируемой величиной будет количество продукции в натуральном выражении, а весом – цена.

Индекс физического объема оборота розничной торговли относительный показатель, который отражает влияние изменения объёма продажи товаров (количества и ассортиментных сдвигов) на динамику оборота торговли; рассчитывается как отношение стоимостей количества товаров текущего и базисного периодов, соизмеренных в ценах одного и того же периода:

, (11.4)

где Iq – индекс физического объёма оборота розничной торговли в сопоставимых ценах;

p₀q₁ – оборот розничной торговли отчётного периода в ценах базисного (в сопоставимых ценах).

Данный индекс вычисляется в том случае, когда имеются данные об обороте розничной торговли в натуральном выражении.

Индекс цен – это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, так как этот индекс характеризует изменение цен. Весом будет выступать количество произведенных товаров.

, (11.5)

где Ip – индекс цен оборота розничной торговли.

Абсолютный прирост оборота розничной торговли представляет собой разность между оборотом розничной торговли отчетного периода и оборотом розничной торговли базисного периода, т.е. разность между числителем и знаменателем индекса оборота розничной торговли в фактических ценах:

.

Прирост оборота розничной торговли вследствие изменения объема проданных товаров определяется путем сравнения условного оборота розничной торговли отчетного периода в базисных ценах с базисным оборотом розничной торговли, т. е. как разность между числителем и знаменателем индекса физического объема оборота розничной торговли:

. (11.6)

Прирост оборота розничной торговли в результате изменения цен исчисляется при сопоставлении оборота розничной торговли отчетного периода и условного оборота розничной торговли в базисных ценах, т. е. как разность между числителем и знаменателем индекса цен:

. (11.7)

Сумма этих двух частных приростов образует общий прирост оборота розничной торговли:

, (11.8)

представленный в виде факторной модели:

, (11.9)

т.е. абсолютный прирост оборота розничной торговли может быть разложен на количественный и ценностный факторы.

Пример 1. Имеются данные о количестве проданных товаров и ценах за два периода:

Товар	Количество проданных товаров, ед.		Цена за единицу, руб.
	базисный период,	отчетный период,	базисный период,	отчетный период,
А	1	2	3	4
1	50000	60000	25	20
2	12000	14000	45	50

Исчислите: 1) индивидуальные индексы цен и количества проданных товаров; 2) общий индекс цен; 3) общий индекс физического объема оборота розничной торговли; 4) общий индекс товарооборота; 5) абсолютную сумму экономии, полученную населением от снижения цен на товары; 6) прирост оборота розничной торговли за счет изменения цен и количества проданных товаров.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

Решение

1. Индивидуальные индексы (однотоварные) равны:

а) цен

б) количества проданного товара

Так, для товара 1

, или 80,%;

, или 120,0%.

Аналогично исчисляются индивидуальные индексы на другие товары.

2. Общий индекс цен исчисляется по агрегатной форме:

, или 89,2%.

Следовательно, цены в среднем по двум товарам снизились в отчетном периоде по сравнению с базисным на 10,8% (100 - 89,2).

3. Общий индекс физического объема оборота розничной торговли равен:

, или 119%.

Это значит, что количество проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 19%.

4. Общий индекс оборота розничной торговли равен:

, или 106,1%.

Следовательно, оборот розничной торговли в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 6,1% (106,1 - 100).

5. Абсолютная сумма экономии, полученная населением от снижения цен в отчетном периоде, исчисляется по данным общего индекса цен, а именно:

тыс. руб.

6. Прирост товарооборота исчисляется как разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота:

тыс. руб.

Этот прирост обусловлен изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров.

Определим прирост товарооборота за счет каждого из этих факторов:

а) изменения цен

тыс. руб.;

б) изменения количества проданных товаров

тыс. руб.

Следовательно, увеличение оборота розничной торговли в отчетном периоде на 110 тыс. руб. произошло за счет снижения цен на 230 тыс. руб. и роста количества проданного товара на 340 тыс. руб.

Между исчисленными общими индексами имеется следующая взаимосвязь:

, т.е. .

Средний индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Агрегатный индекс является основной формой общего индекса, поэтому средний индекс должен быть тождествен агрегатному индексу. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.

Средний арифметический индекс представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов.

. (11.10)

Средний гармонический индекс представляет собой среднюю гармоническую из индивидуальных индексов.

. (11.11)

Пример 2. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятием потребительской кооперации:

Продукция	Производство продукции в базисном периоде, тыс. руб.,	Изменение количества произведенной продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
А Б В	560 310 270	+12 -3 без изменения

Исчислите общий индекс физического объема производства продукции предприятия.

Решение

Общий индекс физического объема производства продукции исчислим по формуле среднеарифметического индекса, тождественного агрегатной форме:

(11.12)

Определим индивидуальные индексы количества произведенной продукции по каждому изделию:

, или 1,12,

, или 0,97,

, или 1

Следовательно, общий индекс физического объема про­дукции равен:

,

или 105,1%, т. е. количество произведенных изделий выросло на 5,1%.

Динамика среднего уровня качественного показателя для однородной совокупности изучается с помощью системы индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Относительная величина, характеризующая динамику среднего уровня показателя в однородной совокупности, называется индексом переменного состава. Он отражает влияние на изучаемый показатель двух факторов: изменение индексируемой величины у отдельных единиц совокупности и изменение структуры совокупности по изучаемому признаку. Индекс переменного состава для любых качественных показателей может быть построен следующим образом:

. (11.13)

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует динамику средних величин при одинаковой фиксированной структуре совокупности. В общем виде данный индекс можно записать следующим образом:

. (11.14)

Индекс влияния структурных сдвигов представляет собой отношение средних величин, рассчитанных при структуре совокупности отчетного и базисного периодов при постоянной величине индексируемого показателя. Формула индекса влияния структурных сдвигов выглядит следующим образом:

. (11.15)

Взаимосвязь индексов переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов выражается уравнением:

. (11.16)

Пример 3. Имеются данные о цене и количестве проданного товара по двум организациям потребительской кооперации:

№ организации	Количество проданного товара, кг				Цена 1 кг, руб.
	базисный период		отчетный период		базисный период,	отчетный период,
1	340	56,7	350	50	11	12
2	260	43,3	350	50	20	21
Итого	600	100	700	100	-	-

Определите: индекс цены переменного состава; индекс цены постоянного состава; индекс структурных сдвигов. Покажите взаимосвязь индексов. Сделайте выводы.

Решение

Определим индекс цены переменного состава, который представляет собой соотношение средних уровней индексируемых величин:

или 110,7%.

Индекс показывает, что средняя цена изделия по двум организациям увеличилась на 10,7%.

Исчислим индекс цены постоянного состава:

или 106,5%.

Это означает, что по двум организациям цена продукции в среднем повысилась на 6,5%.

Индекс структурных сдвигов найдем с помощью соотношения средних уровней, где весами является количество продукции:

, или 104,0%.

Средняя цена изделия в отчетном периоде возросла дополнительно на 4,0% в результате изменения структуры.

Взаимосвязь индексов:

.

Если в качестве весов взять удельные веса отдельных организаций в общем объеме проданного товара , то рассматриваемые индексы примут вид:

;

;

.

Таким образом, можно сказать, что в отчетном периоде средняя цена проданных товаров по двум организациям вместе возросла на 10,7% под влиянием двух факторов, в частности изменение структуры проданных товаров отдельных организаций в общем объеме продаж вызвало увеличение цены на 4,0%, а изменение цены в каждой организации привело к росту цен на 6,5%.

Системой индексов называется ряд последовательно построенных индексов. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени.

В зависимости от базы сравнения системы индексов бывают базисными и цепными.

Система базисных индексов – это ряд последовательно вычисленных индексов одного и того же явления с постоянной базой сравнения, т.е. в знаменателе всех индексов находится индексируемая величина базисного периода.

Система цепных индексов – это ряд индексов одного и того же явления, вычисленных с меняющейся от индекса к индексу базой сравнения.

Перемножая последовательно цепные индексы, можно получить базисные индексы. В свою очередь, отношение двух последовательных базисных индексов дает цепной индекс.