Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n*

n t	4	5	6	7	8	9	10	15	20
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 976	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 936 975 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 977
* При n = в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

Как видно из таблицы 3, при увеличении n это распределение стремится к нормальному и при n = 20 уже мало от него отличается.

Покажем, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента.

Пример 5. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9. Найдем выборочные средние затраты:

мин.

Выборочная дисперсия

Отсюда средняя ошибка малой выборки

мин.

По табл. находим, что для коэффициента доверия t = 2 и объема малой выборки n = 10 вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средней лежит в пределах от -2 до + 2 , т. е. разность не превысит по абсолютной величине 0,56 (2х0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находиться в пределах от 2,93 до 4,05 мин. Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет по абсолютной величине больше, чем 0,56, равна: 1 - 0,924 = 0,076.

Таблица вероятностей Стьюдента часто приводится в иной форме, нежели в табл.4. Считается, что в ряде случаев такая форма более удобна для практического использования (табл. 9.5).

Таблица 9.5

Некоторые значения t-распределения Стьюдента

Число степеней свободы
	для одностороннего интервала		для двухстороннего интервала
	p=0,95	p=0,99	p=0,95	p=0,99
3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60	2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,73 1,70 1,67 1,64	4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,60 2,53 2,46 2,39 2,33	3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,04 2,00 1,96	5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,35 3,17 2,95 2,85 2,75 2,66 2,58

Из табл. 9.5 следует, что для каждого числа степеней свободы k = n - 1 указана предельная величина (t_0,95 или t₀,₉₉), которая с данной вероятностью р не будет превышена в силу случайных колебаний результатов выборки. На основе указанной в табл.4 величины определяются доверительные интервалы: . Это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность, равную:

q=1-p.

В качестве доверительной вероятности при двусторонней проверке используют, как правило p=0,95 или p=0,99, что не исключает, однако, выбора и других p, не приведенных в табл. 4.

Вероятности q случайного выхода оцениваемой средней величины за пределы доверительного интервала соответственно будут равны 0,05 и 0,01, т. е. весьма малы. Выбор между вероятностями 0,95 и 0,99 является до известной степени произвольным. Этот выбор во многом определяется содержанием тех задач, для решения которых применяется малая выборка.

Пример 6. В результате выборочной проверки налоговой инспекцией 10 промышленных предприятий города средняя доля документально неоформленных работ на них составила 17 %. Определить вероятность того, что в генеральной совокупности доля документально неоформленных работ не превышает 25%.

Для нахождения средней ошибки малой выборки необходимо знать ее дисперсию:

= w(1-w)= 0,17(1-0,17)=0,1411.

В таком случае мы можем определить предельную ошибку доли в малой выборки:

Следовательно,

По таблице распределения Стъюдента при t=0,64 и n=10 вероятность S(t) =0,718.

Таким образом, с вероятностью 0,718 можно утверждать, что доля документально неоформленных работ на всех предприятиях города не превышает 25%.

Пример 7. При выборочном обследовании налоговой инспекцией 15 обменных пунктов города было установлено, что разница между курсом покупки и курсом продажи в среднем составляет 84 коп за 1 долл. США при среднем квадратическом отклонении 10 коп. С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится разница между курсом покупки и курсом продажи валюты во всех обменных пунктах города.

Решение

На основании исходных данных определим среднюю ошибку малой выборки:

Так как P(t)=0,95, то:

При n=15 (то есть к=15-1=14) и S(t)=0,975 по таблице распределения Стъюдента значение t находится с помощью таблицы «значения t-критерия Стъюдента . При к=14 и =0,05 (1-0,95) соответствует значение t=2,145.

Следовательно, предельная ошибка выборки равна:

Пределы, в которых находится разница между курсом покупки и курсом продажи валюты, при найденном значении предельной ошибки выборки составляют:

то есть

или

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что в генеральной совокупности разница между курсом покупки и курсом продажи валюты составляет от 78 до 90 коп.