Расчетная таблица

Исходные данные		Расчетные показатели
Тарифный разряд,	Число рабочих,
2	1	2	-2,5	-2,5	6,25
3	2	6	-1,5	-3,0	4,50
4	6	24	-0,5	3,0	1,50
5	8	40	0,5	4,0	2,00
6	3	18	1,5	4,5	6,75
Итого	20	90	-	-	21,00

Как видно из формул, для расчета показателей вариации необходимо предварительно исчислить среднюю величину.

разряда;

Дисперсию:

;

Среднее квадратическое отклонение:

разряда;

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно совокупность рабочих по тарифным разрядам является однородной и - надежна, ее можно рассчитывать в данной совокупности.

В ряде случаев возникает необходимость в измерении дисперсии так называемых альтернативных признаков, тех, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие.

Если обозначим: 1 – наличие интересующего нас признака; 0 – его отсутствие; p- доля единиц, обладающих данным признаком; q – доля единиц, не обладающих данным признаком; то p+q=1.

Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию.

Среднее значение альтернативного признака:

так как p + q=1

Дисперсия альтернативного признака:

Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р=0,5.

Пример 2. В трех партиях готовой продукции, представленной на контроль качества, была обнаружена годная и бракованная продукция (табл. 8.2).

Таблица 8.2

Продукция, представленная на контроль качества

Партия	Готовая продукция, шт.	Из них продукция
		годная	бракованная
1	1200	800	400
2	1000	840	160
3	1100	1000	100

Средний процент годной продукции в трех партиях равен:

Средний процент бракованной продукции составил:

Дисперсия удельного веса годной продукции:

Среднее квадратическое отклонение удельного веса годной продукции:

Коэффициент вариации удельного веса годной продукции в общем выпуске продукции:

Если совокупность разбита на группы по какому-либо факторному признаку (х), и в каждой группе подсчитаны средние значения результативного признака (у), то для этой совокупности вычисляют следующие виды дисперсии:

– общая;

– межгрупповая;

– средняя из групповых (внутригрупповая дисперсия).

1. Общая дисперсия определяется несколькими способами по следующим формулам:

(8.10)

; (8.11)

, (8.12)

где , , , . (8.13)

Например: x – стаж, а y – производительность труда.

Общая дисперсия показывает влияние на результативный признак у множества факторных признаков ( )

2. Межгрупповая дисперсия показывает влияние только одного интересующего факторного признака х на результативный признак у и определяется по формуле:

, (8.14)

где – среднее значение результативного признака в каждой группе;

– среднее значение признака во всей совокупности;

– число единиц совокупности в каждой группе.

3. Средняя из групповых дисперсий показывает влияние на результативный признак у всех остальных факторных признаков (кроме признак х), лежащего в основании группировки и определяется по формуле:

, (8.15)

где – групповая дисперсия (дисперсия, вычисленная в каждой группе);

– число единиц в каждой группе.

Если к межгрупповой дисперсии прибавить среднюю из групповых, то получим общую дисперсию – правило сложения дисперсии:

. (8.16)

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

Если межгрупповую дисперсию разделить на общую дисперсию, то получается коэффициент детерминации:

. (8.17)

Вычисляем либо в %, либо в коэффициентах.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х. при отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи единице.

Если из коэффициента детерминации извлечь квадратный корень, то получается эмпирическое корреляционное отношение, которое показывает тесноту связи между факторным и результативным признаками.

. (8.18)

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эко, используют шкалу Чэддека:

η = 0,1-0,3 – связь слабая

0,3-0,5 – связь умеренная

0,5-0,7 – связь заметная

0,7-0,9 – связь тесная

0,9-0,99 (i) – весьма тесная

Эмпирическое корреляционное отношение измеряется от 0 до 1.

Пример 3. На предприятии все рабочие сгруппированы по стажу на 2 группы: со стажем до 5 лет; со стажем свыше 5 лет. В каждой группе подсчитано число работников и производительность труда каждого работника. Получены результаты:

Стаж до 5 лет				Стаж свыше 5 лет
Табельный номер рабочего	Производи- тельность труда 1 рабочего, (шт.)			Табельный номер рабочего	Производи- тельность труда 1 рабочего, (шт.)
1 2 3 4 5 6	13 14 15 17 16 15	-2 -1 0 2 1 0	4 1 0 4 1 0	7 8 9 10 11 12	18 19 22 20 24 23	-3 -2 1 -1 3 2	9 4 1 1 9 4
Итого	90		10		126		28

Выявить влияние стажа работников на производительность труда.

Чтобы определить, влияет ли стаж и его изменение на изменение производительности труда, необходимо вычислить все 3 дисперсии.

1. Средняя производительность труда в каждой группе рабочих:

;

2. Групповая дисперсия в каждой группе:

; ;

3. Средняя из групповых дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия:

5. Общая дисперсия (по правилу сложения дисперсий):

6. Коэффициент детерминации:

или 74 %.

7. Эмпирическое корреляционное отношение:

или 86 %.

Вывод: Так как , то есть ближе к 1, то связь между производительностью труда и стажем тесная. Изменение производительности труда на 74 % зависит от изменения стажа (и на 26 % от других факторов).