10.9. Уравнение прямолинейной регрессии

Корреляционную связь в форме, близкой к прямолинейной, можно представить в виде уравнения прямой линии:

(11.8)

где - среднее значение результативного признака; х – значение факторного признака; - параметр уравнения, характеризующий минимальное значение результативного признака; - коэффициент пропорциональности изменения признака – результата.

Целесообразно обратить внимание на то, что в уравнении 11.8 параметр характеризует среднее значение результативного признака У при элиминировании признака-фактора Х, т.е. Х=0. Коэффициент в зависимости от знака + или – показывает пропорциональность изменения результата У, т.е. его приращения или убывания при абсолютном изменении фактора на каждую его единицу.

Для нахождения параметров , уравнения 11.8 составляют и решают следующую систему нормальных уравнений:

(11.9)

(11.10)

При расчете искомых параметров , можно воспользоваться макетом табл. 11.5.

Т а б л и ц а 11.5. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной связи

№ п.п.	Признак-фактор	Признак результат	Квадрат признака-фактора	Произведение признака-фактора и признака-результата
	Х	у	Х2	ху
1	Х1	у1
2	Х2	у2
…	…	…	…	…
n	Хn	уn
Σ	ΣХ	ΣУ	ΣХ2	Σху

Таким образом, для решения системы нормальных уравнений (11.9 и 11.10) необходимо найти значения ΣХ, ΣУ, ΣХУ и ΣХ².

Допустим необходимо определить, как изменится в среднем урожайность рапса в зависимости от колеблемости доз минеральных удобрений по данным статистической совокупности из 30 сельскохозяйственных предприятий, если известно, что дозы удобрений колеблется в пределах от 56 до 183 кг действующего вещества на 1 га, а урожайность рапса – от 16,9 до 30,4 ц/га.

Для составления уравнения прямолинейной регрессии 11.8 по имеющимся данным необходимо решить систему нормальных уравнений. С этой целью прежде всего составил рабочую табл. 11.6. подставим полученные в табл. 11.6 конкретные значения Σх=3283, Σу=640, Σху=91204 и Σх²=535692 в уравнении 11.9 и 11.10 получим:

Для расчета коэффициента пропорциональности разделим уравнения 1,2 на числа, находящиеся при . Получим:

Т а б л и ц а 11.6. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной взаимосвязи

№ п.п.	Дозы удобрений, кг/га	Урожайность рапса, ц/га	Произведение вариант	Квадрат доз удобрений
	Х	У	ХУ	Х2
1	56	16,9	946	3136
2	58	17,2	998	3364
…	…	…	…	…
30	183	30,4	5563	33489
Σ	3283	640	91204	535692

Вычтем четвертое уравнение из третьего. Получим 21,3 – 27,7 = а+а+109,4в – 163,2 в; - 6,4 = - 53,8 в; в = 0,12.

Теперь найдем параметр а, подставим значение в, например, в третье уравнение: 21,3 = а + 109,4. 0,12; а=8,2.

Прямолинейной регрессии, выражающее зависимость между дозами минеральных удобрений и урожайностью рапса, имеет следующий вид:

(11.11)

Коэффициент пропорциональности в показывает, что повышение доз внесения в почву минеральных удобрений на 1 кг действующего вещества может вызвать рост урожайности рапса в сельскохозяйственных предприятиях на 12 кг (0,12 ц/га). Это свидетельствует о существенной роли минеральных туков в достижении высоких и устойчивых урожаев сельскохозяйственных культур.