10.3. Показатели тесноты корреляционных связей. Корреляционное отношение

Одним из центральных вопросов, решаемых с помощью корреляционного метода, является определение и оценка количественной меры тесноты связи между факторными и результативными признаками.

При решении однофакторного и многофакторного корреляционного комплекса универсальным показателем тесноты взаимосвязи между изучаемыми признаками считается корреляционное отношение, позволяющее довольно точно измерить и оценить меру влияния факторных признаков на признак результаты при любой форме корреляционной зависимости.

Корреляционное отношение – показатель, который можно рассчитать для простой или множественной корреляции на базе данных, получаемых в процессе решения дисперсионного комплекса (см. тему 10):

(11.1)

где - корреляционное отношение:

W_ф – объем систематической (факторной) вариации;

W_общ - объем общей вариации признака – результата.

Допустим, необходимо рассчитать корреляционное отношение для изучения зависимости урожайности картофеля от удельного веса посевов, обработанных против фитофтороза в крестьянских хозяйствах (табл. 10.2, 10.5), если известно, что объем общей вариации урожайности составил 500 тыс. кв. ед., систематической (факторной0 вариации - 325 тыс. кв. ед. Следовательно, по формуле 11.1 несложно пересчитать корреляционное отношение связи:

Полученный результат (ŋ_х = 0,806) показывает, что урожайность картофеля в крестьянских хозяйствах находится в довольно тесной зависимости от удельного веса посевов, обработанных против фитофтороза. Это означает, что в системе мер по повышению урожайности картофеля необходимо предусматривать своевременную химобработку посевов против распространенной болезни – фитофтороза.

Целесообразно отметить, что корреляционное отношение может довольно высокий уровень точности количественного измерения тесноты взаимосвязи между изучаемыми признаками, так как оно позволяет полнее «уловить» все колебания, вызванные влиянием факторных признаков на результат. Вместе с этим преимуществом корреляционное отношение содержит существенный недостаток: имея всегда положительное значение, при обратной корреляционной зависимости оно не показывает направление связи между изучаемыми признаками. Поэтому для выявления направленности корреляционной зависимости между признаками – факторами и признаками – результатами нередко приходится использовать графический прием.

Необходимо отметить, что при корреляционных связях обычно изучаются взаимоотношения разноименных величин. Поэтому приходится поставлять не линейные отклонения индивидуальных вариант, а их преобразованные значения, нередко выраженные в отвлеченных числах.

10.4. Коэффициенты прямолинейной парной корреляции

Если взаимосвязь между признаками изучаемой парой признаков выражается в форме, близкой к прямой, то степень тесноты связи между этими признаками можно рассчитать при помощи коэффициента прямолинейной парной корреляции. В связи с этим целесообразно отметить, что настоящее время имеется много различных способов расчета коэффициента парной корреляции. Каждый способ учитывает характер и взаимосвязей между изучаемыми признаками в статистической совокупности. Доказано, что наиболее точный результат корреляционной тесноты связи между факторным и результативным признаками может быть получен по следующей формуле:

(11.2)

где r _ху – коэффициент парной корреляции между признаком-фактором (х) и признаком – результатом (у); t_x – нормированное отклонение по признаку – фактору; t _y – нормированное отклонение по признаку – результату.

Последовательность расчета коэффициента парной корреляции по формуле 11.2 заключается в следующем:

1. По данным статистической совокупности рассчитывают среднее значение отдельно по признаку – фактору и признаку-результату

2. По этой же совокупности находят индивидуальные линейные отклонения вариант от среднего значения отдельно по признаку – фактору и признаку – результату

3. По каждому признаку отдельно рассчитывают среднее квадратическое отклонения , способы и порядок расчета которых приведен в теме 6.

4. Находят индивидуальные нормированные отклонения отдельно по признаку – фактору и признаку – результату .

5. Рассчитывают произведения нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату t _x t _y /

6. Находят сумму произведений полученный нормированных отклонений

7. Рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений , которое представляет собой коэффициент прямолинейной парной корреляции.

Целесообразно отметить, что коэффициенты корреляции, также как и корреляционные отношения, обладают стабильным свойством, заключающимся в том, сто пределы колебаний этих показателей могут быть выражены следующим образом: -1< r _ху < 1. Это означает, что коэффициенты корреляции и корреляционные отношения могут колебаться в пределах, не превышающих единицу.

Сокращенный вариант расчета коэффициента парной корреляции между урожайностью сена многолетних трав и годовым удоем коров в 100 сельскохозяйственных предприятиях по формуле 11.3 приведен в табл. 11.1.

Как видно из данных табл. 11.1, полученное среднее произведение нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату представляет собой коэффициент парной корреляции между этими признаками. Поскольку этот коэффициент положительный, то взаимосвязь между признаками прямая, а величина коэффициента корреляции (r = 0,7) указывает на среднюю меру зависимости годового удоя одной коровы от урожайности сена многолетних трав.

Необходимо иметь в виду, что абсолютная величина коэффициента корреляции, как и корреляционного отношения может колебаться от 0 до 1, а с учетом направления связи – находится в пределах от 1 до 1. При этом чем ближе коэффициент корреляции к единицы (отрицательной или положительной), тем теснее находится признаки во взаимосвязи.

Расчет коэффициента корреляции по основной формуле 11.2 хотя и дает довольно точный результат, но отличается повышенной трудоемкостью вычисления. Поэтому для измерения степени тесноты связи между факторным и результативным признаками можно рекомендовать формулу, предложенную К. Песоном:

(11.3)

где r _xy – коэффициент прямолинейной парной корреляции; - среднее произведение факторного и результативного признаков: - среднее значение соответственного факторного и результативного признаков, - среднее квадратическое отклонение признака – результата.

Т а б л и ц а 11. 1. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Признак - фактор				Признак - результат				Произведения нормированных отклонений
	Урожайность многолетних трав ц/га	Линейные отклонения урожайности, ц/га	Квадраты линейных отклонений	Нормированные отклонения, ц/га	Годовой удой одной коровы, ц	Линейные отклонения годового удоя, кг	Квадраты линейных отклонений	Нормированные отклонения
	Х				y
1	20	-10	100	-1,0	20	-15	225	-1,5	1,5
2	21	-9	81	-0,9	20	-15	225	-1,5	1,4
3	22	-8	64	-0,8	25	10	100	-1,0	0,8
...	…	..	…	…	…	…	…	…	…
100	50	20	400	2,0	50	15	225	1,5	3,0
Σ	3000	-	10000	-	3500	-	10000	-	70,0
Среднее	30	-		-	35	-		-	0,7

При расчете коэффициента прямолинейной парной корреляции по формуле 11.3 в общем виде можно воспользоваться макетом вспомогательной табл. 11.2.

Т а б л и ц а 11.2. Схема расчета вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Факторный признак			Результативный признак			Произведение факторного и результативного признаков
	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений
	Х			у			ху
1	Х1			у1
2	Х2			у2
…	…	…	…	…	…	…	…
n	Хn			уn
Σ	ΣХ	-		ΣУ	-		Σху

Допустим, имеется достаточно обширная статистическая информация по 100 фермерским хозяйствам, в т.ч. данные о дозах внесения минеральных удобрений (в д.в.) и урожайности зерновых культур. Необходимо рассчитать коэффициент корреляции и с его помощью оценить тесноту зависимости урожайности зерновых культур от доз вносимых минеральных удобрений. С этой целью проведем вспомогательные расчеты, сокращенный вариант которых приведен в табл. 11.3.

Т а б л и ц а 11.3. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	Факторный признак (х)			Результативный признак (у)			Произведение факторного и результативного признаков
	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений	Варианты	Линейные отклонения	Квадраты линейных отклонений
	Х			у
1	56	-61	3721	16,9	-7,0	49,00	946,4
2	58	-59	3481	17,2	-6,7	44,89	997,6
3	63	-54	2916	18,0	-5,7	34,81	1134,0
…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…
100	183	66	4356	37,4	13,5	182,25	6844,2
Σ	11700	-	68100	2390	-	2881	289150
Среднее	117	-	681	23,9	-	28,81	2891,5

Данные табл. 11.3 позволяют найти необходимые составляющие парного коэффициента корреляции. Прежде всего необходимо рассчитать среднюю дозу удобрений (по формуле средней арифметической простой величины, см. 6.4):

Среднюю урожайность зерновых культур находим также по формуле 6.4.:

Среднее произведение доз удобрений и урожайности зерновых культур рассчитываем следующим образом:

В совою очередь среднее квадратическое отклонение по признаку – фактору (дозам удобрений) рассчитаем по формуле 6.17:

Среднее квадратическое отклонение по признаку-результату (урожайность зерновых культур) найдем также по формуле 6.17:

Теперь, зная необходимые составляющие, рассчитаем коэффициент корреляции по формуле 11. 3:

Это означает, что между урожайностью зерновых культур и дозами минеральных удобрений существует прямая, средней тесноты, зависимость, а на урожайность зерновых культур, кроме минеральных удобрений, оказывают влияние многие другие факторы.