9.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий
Принцип расчета дисперсии (среднего квадрата отклонений) в общем виде рассмотрен в теме 6. Применительно к дисперсионному методу это означает, что каждому виду вариации соостветствует определенная дисперсия.
Если статистическая совокупность сгруппирована по заданному признаку, то возможен расчет следующих видов дисперсий.
Во-первых, определяется общая дисперсия результативного признака, которая сформировалась под влиянием всех факторов. Она представляет собой средний квадрат отклонений:
–простой (для ранжированного ряда) по формуле
(9,4)
где n–число единиц в статистической совокупности;
–взвешенный (для дискретного или интервального ряда) по формуле
(9,5)
где f – локальная частота вариант.
Во-вторых, межгрупповая дисперсия результативного признака, которая характеризует систематическую вариацию, сформированную под влиянием факторного признака, положенного в основание аналитической группировки:
(9,6)
где f – частота вариант в группах.
В-третьих, индивидуальные внутригрупповые дисперсии результативного признака, характеризующие случайную вариацию, сформированную под влиянием всех других, неучитываемых факторов, и независящую от условия (признака-фактора), положенного в основание группировки:
(9,7)
В четвертых, средняя внутригрупповая дисперсия результативного признака, рассчитываемая как средневзвешенная из индивидуальных внутригрупповых дисперсий:
(9,8)
Теоретически доказано, что приведенные дисперсии подчинены определенному правилу: общая дитсперсия равна сумма систематической и средней внутригрупповой дисперсии, т. е.
(9,9)
Это озночает, что общая дисперсия результативного признака, сформированная под воздействием всего комплекса факторов, должна быть равна суиие дисперсии, возникшей под влиянием изучаемого фактора и средней дисперсии, сформированной за счет влияния всех факторов.
Формулу 9.9 принято называть правилом сложения дисперсий. Это правило можно проверить на вышеприведенном примере, т.е. по данным о влиянии химобработки посевов картофеля против фитофтороза на урожайность культур (по материалам выборочного наблюдения в 100 крестьянских хозяйствах).
Так как объём общей вариации уже рассчитан (табл. 9.2.), то общая дисперсия урожайности составит:
В свою очередь по данным факторной вариации (табл.10.5) находим межгрупповую дисперсию урожайности картофеля:
Теперь необходимо рассчитать четыре индивидуальные внутригрупповые дисперсии, так как согласно условию примера для нахождения объема вариации было сформировано 4 группы (табл.9.5). Развернутый расчет вспомогательных данных для определения внутригрупповой дисперсии, характеризующей влияние случайных факторов на изменение урожайности картофеля, приведём на примере первой группы (табл.9.6).
Т а б л и ц а 9.6. Расчет объёма случайной вариации
урожайности картофеля (первая группа)
№ п.п. |
Урожайность, ц/га |
Линейное отклонение от средней групповой урожайности |
Квадраты линейных отклонений |
№ п.п. |
Урожайность, ц/га |
Линейное отклонение от средней групповой урожайности |
Квадраты линейных отклонений |
|
у |
|
|
|
у |
|
|
1 |
100 |
-50 |
2500 |
11 |
150 |
0 |
0 |
2 |
100 |
-50 |
2500 |
12 |
160 |
10 |
100 |
3 |
110 |
-40 |
1600 |
13 |
160 |
10 |
100 |
4 |
110 |
-40 |
1600 |
14 |
160 |
10 |
100 |
5 |
120 |
-30 |
900 |
15 |
170 |
20 |
400 |
6 |
120 |
-30 |
900 |
16 |
180 |
30 |
900 |
7 |
130 |
-20 |
400 |
17 |
190 |
40 |
1600 |
8 |
140 |
-10 |
100 |
18 |
200 |
50 |
2500 |
9 |
150 |
0 |
0 |
19 |
200 |
50 |
2500 |
10 |
150 |
0 |
0 |
20 |
200 |
50 |
2500 |
ИТОГО |
|
|
|
|
0 |
21200 |
|
Из данных табл. 9.6 видно, что объём случайной вариации в первой группе составил 21,2 тыс.ед. Анналогичным образом рассчитываем объём случайной вариации в 2,3 и 4 группах. Они и составили соответственно 52,2, 57,6 и 44,0 тыс. ед. Всвою очередь внутригрупповые дисперсии составляют:
–в первой группе
– во второй группе
– в третьей группе
– в четвёртой группе
Среднюю внутригрупповую (случайную) дисперсию урожайности картофеля расчитываем по формуле…
Поскольку все дисперсии (общая, межгрупповая, внутригрупповая) расчитаны, то можно проверить правило сложения дисперсий (формула…)
Использование правила сложения дисперсии позволяет рассчитать искомую дисперсию, если известны любые две из трех дисперсий. Кроме того, с помощью этого правила можно определить и оценить удельное значение изучаемого значение изучаемого фактора во всей совокупности факторов, увеличивающих на результативный признак.