7.8. Предельная ошибка выборки. Интервальная опенка основных статистических характеристик

Предельная ошибка выборки представляет собой расхождение между статистическими характеристиками, полученными в выборочной и генеральной совокупности Как было показано выше (формула 7.2), предельная погрешность может накапливаться только за счет неполного охвата статистических единиц генеральной совокупности при проведении выборочного наблюдения. Именно поэтому статистические характеристики, полученные в результате выборочного наблюдения, могут не совпадать с аналогичными характеристиками в генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки зависит непосредственно от выбороч­ной средней ошибки и доверительного коэффициента. Поскольку вопрос о средней ошибке выборки был уже рассмотрен, то попытаемся представить себе предельную погрешность, которая неизбежно попускается при проведении выборочного наблюдения, т.е.

, (7.11)

где Δх — предельная ошибка выборки; среднее значение признака в генеральной совокупности; - среднее значение признака в выборочной совокупности.

Нахождение предельной ошибки выборки по данным выборочного наблюдения позволяет определить границы, в которых заключены значения статистических характеристик, принадлежащих генеральной статистической совокупности. С этой целью используется интервальная оценка выборочных статистических характеристик. Например, интервальную оценку выборочного среднего значения можно получить из формулы 7.1, преобразовав ее следующим образом:

Это означает, что среднее значение признака в генеральной совокупности заключено в границах, нижняя величина которой представляет собой разность между средней выборочной, и предельной ошибкой 'выборки, а верхняя сумму этих значений.

Допустим, необходимо найти интервальную оценку при 5 % уровне значимости (95 % уровня вероятности) среднего выхода меда на одну пчелосемью по всей пчелопасеке (100семей), если известно, что выборочным обследованием охвачено 25 пчелосемей; при этом средний выход меча составил 25 кг, а среднее квадратическое отклонение - 10 кг на одну пчелосемью.

Решение проводим по формуле 7. 12.

Поскольку выборочный средний выход меда на одну пчелосемью по условию задачи составляет то доля нахождения интервальной оценки необходимо рассчитать предельную ошибку выборки Δх, которую определяем по формуле 7.2, т.е. . В свою очередь доверительный коэффициент t, который соответствует вероятности 0,95, находим по специальной таблице (приложение I). Он равен 1,96. Cpeднюю ошибку выборки ( Mх.) рассчитываем по формуле

Следовательно , предельная ошибка выборки составит:

меча на одну пчелосемью.

Таким образом, интервальную оценку генеральной средней массы мена на одну семью по всей пчелопасеке можно записать следующим обратом:

Это означает, что средний выход мела на одну пчелосемье по всей пасеке, находится в пределах от 21,6 до 28,4 кг.

7.9. Приемы расчета численности выборки при различных способах отбора

Подготовительная работа к проведению выборочного наблюдения непосредственно связана с определением необходимой численности выборки, которая зависит от способа отбора и численности единиц в генеральной статистической совокупности.

Для расчёта необходимой численности выборки способом повторного отбора целесообразно преобразовать формулу расчёта предельной ошибки выборки (7.2). в результате получим то, что

(7.13)

Формула 7.13 показывает, что численность выборки прямо пропорциональна квадрату по верительного коэффициента, дисперсии признака в выборочной совокупности и обратно пропорциональна квадрату предельной ошибки выборки. Это означает, что для сокращения пре ;предельной ошибки выборки, например, в два раза численность выборки придется увеличить в четыре раза.

Пример. Необходимо рассчитать количество крестьянских хозяйств, по которым предполагается определить среднегодовой удой на одну корову при помощи случайной выборки с точностью дo ц и вероятностью 0,954, а предварительно рассчитанное среднее квадратической отклонение составляет 5 ц молока на корову.

Для расчета минимального выборочного числа крестьянских хозяйств воспользуемся формулой 7.13; получим:

Следовательно, согласно принятым условиям, для определения среднегодового удоя коров в крестьянских хозяйствах по способу случайной выборки необходимо обследовать не менее 64 хозяйств.

Для нахождения минимальной численности выборки при проведении случайного или механического отбора, где доля выборки генераль ной совокупности значительна, целесообразно соответствующим образом преобразовать формулу 7.4. Тогда

(7.14)

Допустим, в пополнение к данным предыдущего примера известно, что общее число крестьянских хозяйств (генеральная совокупность) составляет 1000 единиц. Необходимо рассчитать минимальное выборочное число хозяйств по этой совокупности, используя способ случайного от бора. Подставив исходные данные в формулу 7.14, получим:

Таким образом, воспользовавшись способом случайного отбора, для получения достоверной информации о годовом yдoe коров в 1000 крестьянских хозяйств с вероятностью 0,954 необходимо включить в выборку и обследовать не менее 60 таких хозяйств.

Для определения необходимой численности выборки по выборочной доле при случайном или механическом способу отбора целесообразно преобразовать формулу 7.5, из которой можно получить искомую формулу:

(7.15)

В тех случаях, когда удельный вес выборки в генеральной совокупности довольно высок, при случайном или механическом отборе преобразование формулы 7.6 позволяет рассчитать необходимую численность выборки по выборочно доле:

(7.16)

Пример. Для определения доли здоровых поросят в общей их численности (1000 голов) необходимо сформировать минимальную выборку по способу случайного бесповторного отбора с условием, что средняя, выборочная здоровых поросят составляет 0,8 (80 %), а допустимая предельная ошибка не превысит 0,05 (5 %) при уровне вероятности не ниже 0,954.

Для расчета необходимой минимальной выборочной численности поросят, согласно принятым условиям, воспользуемся формулой 7.16; получим:

Таким образом, доля определения генерального удельного веса здоровых поросят общей численностью 1000 голов при заданных условиях необходимо сформировать выборочно совокупность, которая насчитывала бы не менее 204 поросят.

При проведении типического отбора приемы определения численности выборки дифференцируются в зависимости от приемов отбора статистических единиц. Для выборки пропорциональной объему типических групп, число наблюдений можно найти следующим образом:

(7.17)

где n_i - число выборочных единиц в типической группе; n - общая численность выборки; Ni - генеральное число единиц в типической группе;N - число единиц в генеральной совокупности.

Допустим, необходимую рассчитать минимальное число единиц в группе крестьянских хозяйств для определения урожайности основных сельскохозяйственных культур, используя данные табл 7.1.

Расчет числа крестьянских хозяйств доля выборочного наблюдения по способу типического отбора провопим по формуле 7.I7:

хозяйств.

Следовательно, для проведения репрезентативного выборочного наблюдения по способу пропорционального типического отбора из всей группы крестьянских хозяйств необходимо отобрать не менее 100 единиц.

Полученные в результате выборки чанные распространяются на генеральную совокупность. Если выборочное наблюдение проводится с целью уточнения результатов сплошного наблюдения, то в таких случаях мотет применяться прием пересчета выборочных данных на генеральную совокупность с поморья коэффициентов. Например, сплошная перепись поголовья овец в тех крестьянских хозяйствах, которые попали в выборку, показала наличие 100 овец; выборочные данные по тем те хозяйствам - 103 овцы Следовательно, поправочный коэффициент составляет 1,03 . Если во всех крестьянских хозяйствах административного района было зарегистрировано, допустим 5000 голов овец, то с учетом уточнения общее поголовье составляет 5150 (5000 ·1,03) овец.

Таким образом, прием прямого пересчета обычно применяется в тех случаях, когда известна численность статистических единиц в генеральной совокупности и основные характеристики выборочной совокупности по изучаемым признакам.

В тех случаях, копа на основании выборочного наблюдения необходимо установить значение признака в генеральной совокупности, можно воспользоваться приемами точечной или интервальной оценки статистических характеристик. Например, необходимо найти среднюю урожайность овощей защищенного грунта во всех фермерских хозяйствах области, если известно, что выборкой было охвачено 50 хозяйств, где средняя урожайность овощей составила 10 кг/м², а предельная ошибка — I кг/м². Если применим прием точечной опенки, то средняя урожайность овощей защищённого грунта во всех фермерских хозяйствах области составит:

Теперь для расчета средней урожайности овощей защищенного грунта во всех фермерских хозяйствах области применим прием интервальной оттенки :

.

Это означает, что средняя урожайность овощей во всех фермерских хозяйствах области находится в пределах от 9 до II кг/м².

Целесообразно отметить, что применение выборочного метода в статистических исследованиях связано с использованием не только какого-либо способа отбора, но нередко охватывает одновременно комплекс этих способов. Так, механический отбор монет сочетаться с типическим или серийным; случайный отбор монет проводиться в сочетании с типическим и т.д. Обычно такое сочетание различных способов отбора намелено на повышение репрезентативности и получение объективных результатов при использовании выборочного метода.