Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
§ 1. Понятие производной
Пусть
и
- два значения аргумента, а
и
- соответствующие значения функции
.
Тогда разность
называется приращением аргумента, а
разность
=
- приращением функции на отрезке
.
Производной
от функции
по аргументу
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю:
или
Примечание.
Производная
обозначается также как
(Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом
производная обозначается только в том
случае, если она берется по
.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Исходя из определения производной, можно найти производную любой дифференцируемой функции.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Найти производную функции
(1)
Дадим
приращение
,
тогда
получит приращение
:
,
отсюда
.
Функция задается формулой (1). Тогда
=
=
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
=
.
Найдем
предел этого отношения при
:
=
(
)=
Следовательно, по определению производной
2. Найти производную функции
(2)
Находим
приращение функции
отсюда
=
и
=
Таким образом,
Итак,
3. Найти производную функции
(3)
Находим приращение функции
Воспользуемся формулой
Отсюда
и
=
.
Итак,
=
Исходя из определения производной, найти производные следующих функций:
2.1.
|
2.5.
|
2.2.
|
2.6.
|
2.3.
(Ответ:
|
2.7.
(Ответ:
|
2.4.
Ответ: |
2.8.
(Ответ: 6(x1)) |
(Ответ:
)
(Ответ:
)
(Ответ:
)
.
(Ответ:
)
)
.
)
)
.
§2. Основные правила дифференцирования.
Дифференцирование основных элементарных функций.
Основные правила дифференцирования
Пусть
C
–постоянная,
- функции, имеющие производные, тогда:
1.
2.
3.
4.
5.
Таблица производных
основных элементарных функций
-
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производную функции:
Запишем данную функцию следующим образом:
Тогда
В качестве следующего примера найдем производную от функции
.
Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной от произведения двух функций:
И, наконец, рассмотрим еще один пример: нахождение производной частного от деления двух функций
.
Для нахождения производной воспользуемся пятым правилом из раздела «Основные правила дифференцирования». Тогда
Найти производные следующих функций:
2.9. |
(Ответ: 6(x1)) |
2.10. |
(Ответ:
|
|
2.11. |
(Ответ: 2x(24x2+1)) |
2.12. |
(Ответ:
|
|
2.13. |
(Ответ:
|
2.14. |
(Ответ:
|
|
2.15. |
(Ответ: |
2.16. |
(Ответ:
|
|
2.17. |
(Ответ:
4 |
2.18. |
(Ответ:
|
|
2.19. |
(Ответ:
|
2.20. |
(Ответ:
|
|
2.21. |
(Ответ:
|
2.22. |
(Ответ:
|
|
2.23. |
(Ответ:
|
2.24. |
(Ответ:
|
|
2.25. |
(Ответ:
|
2.26. (Ответ: |
( |
|
2.27. (Ответ: |
( |
2.28. |
(Ответ:
|
|
2.29. |
(Ответ:
|
2.30. |
(Ответ:
|
|
2.31. |
(Ответ:
|
2.32.
|
(Ответ:
|
|
2.33. |
(Ответ:
|
2.34. |
(Ответ:
|
|
2.35. |
(Ответ:
|
2.36. |
(Ответ:
|
|
2.37. |
(Ответ: 0) |
2.38. |
(Ответ:
|
|
2.39. |
(Ответ:
|
2.40. |
(Ответ:
|
|
2.41. |
(Ответ: |
2.42. |
(Ответ:
|
|
2.43. |
(Ответ: |
2.44. |
(Ответ:
|
|
2.45. (Ответ: |
|
2.46. |
(Ответ:
|
|
2.47. |
(Ответ: |
2.48. |
(Ответ:
|
|
2.49. |
(Ответ:
|
2.50. |
(Ответ:
|
|
2.51. |
(Ответ:
|
2.52. |
(Ответ: |
|
2.53. |
(Ответ:
|
2.54. |
(Ответ:
|
|
2.55. |
(Ответ:
|
2.56. |
(Ответ:
|
|
2.57. |
(Ответ:
|
2.58. |
(Ответ:
|
|
2.59. |
(Ответ:
|
2.60. |
(Ответ:
|
|
2.61. |
(Ответ:
|
2.62. |
(Ответ: |
|
2.63. |
(Ответ:
|
2.64. |
(Ответ:
|
|
2.65. |
(Ответ:
|
2.66. |
(Ответ: |
|
2.67. |
(Ответ:
|
2.68. |
(Ответ:
|
|
2.69. |
(Ответ:
|
2.70. |
(Ответ:
|
|
2.71. |
(Ответ:
|
2.72. |
(Ответ: |
|
2.73. |
(Ответ:
|
2.74.1 |
(Ответ:
|
|
2.75. |
(Ответ:
|
2.76. |
(Ответ:
|
|
2.77. |
(Ответ:
|
2.78. |
(Ответ:
|
|
2.79.2 |
(Ответ:
|
2.80.3 |
(Ответ:
|
|
.
.
)
.
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
.
)
.
)
)
.
)
.
.
)
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
.
)
)
.
)
)
.
)
)
.
)
)
)
)