2.1. Определение скалярного потенциала.
Электростатическое
поле в идеальном диэлектрике как раз и
является типичным представителем таких
полей. Для описания такого поля, удобно
следующим образом ввести потенциальную
функцию
- потенциал электрического поля:
(2.5)
Замечания:
Минус в формуле появляется из-за того, что напряженность всегда направлена в сторону убывания потенциала.
Операция взятия градиента (grad) – представляет собой взятие суммы частных производных по координатным направлениям. В декартовой системе координат она имеет вид:
Потенциал определён как сумма частных производных. Этому определению удовлетворяет не только
,
но и
(любая постоянная величина). Т.о. потенциал
- функция многозначная. Одно и тоже
электростатическое поле можно описать
бесконечно большим количеством функций,
которые будут отличаться на постоянную
величину.Для того чтобы сделать потенциал функцией однозначной в любой рассматриваемой нами области пространства мы должны выбрать точку, в которой положить потенциал равный конкретному значению. В частности, в выбранной точке можно положить потенциал равным нулю. Тогда эту точку называют точкой отсчета и обозначают буквой N.
Разность потенциалов ∆U - не зависит от пути между двумя точками, а зависит только от их расположения
6. С учётом выражения для разности потенциалов, выбрав точку отсчёта, потенциал в произвольной точке М можно определить по формуле:
§-3 Уравнения Пуассона и Лапласа для скалярного потенциала электрического поля.
Третье уравнения Максвелла можно переписать, используя выражение для потенциала (2.5), в следующем виде:
Для случая однородного диэлектрика ε=const, это выражение приобретает вид уравнения Пуассона:
(2.6)
Замечания:
Часто уравнение Пуассона переписывают, заменив операцию взятия divgrad, операторам Лапласа:
Если в рассматриваемой области отсутствуют свободные заряды то в уравнении Пуассона правая часть равна нулю:
.
Это выражение называют уравнением
Лапласа. Математический смысл этого
уравнения: сумма вторых частных
производных от потенциала в каждой
точка пространства, не содержащего
заряды, равна нулю.В декартовой системе координат уравнение Лапласа выглядит следующим образом:
Для того чтобы решить уравнения Пуассона и Лапласа необходимо выделить область пространства, где будет решаться эта задача и задать на границе этой области условия, которые обычно называют граничными. В качестве граничных условий могут использоваться как пространственное распределение потенциала, так и скорость изменения потенциала по одной из координат.
Если на рассматриваемую линейную изотропную среду действует только один источник (причем этим источником может быть как заряд, так и потенциал), то для системы с заданными граничными условиями справедлив принцип пропорциональности. Согласно этому принципу, если мы изменим действующий источник в к раз, то и реакция (напряжённость или потенциал электрического поля) изменится в к раз.
При решении уравнения Пуассона для линейной изотропной среды, на которую действует несколько источников поля, справедлив принцип суперпозиции, т.е. потенциал электрического поля, будет равен сумме потенциалов, найденных для каждого источника в отдельности.
В двух областях пространства распределение потенциала будет одинаковым, если одинаковыми будут геометрия этих областей, свойства, занимающих их сред, и граничные условия (принцип полного соответствия).
Кстати:
С помощью уравнений Пуассона и Лапласа можно описать не только распределение потенциала электрического поля, но и, например, распределение температуры (Т). В этом случае, для среды с однородными параметрами уравнение Пуассона будет иметь вид:
,
где
- пространственное распределение
источников нагрева,
-
теплопроводность среды.Очень часто в осевой симметрии рассматривается только половина задачи, а на оси симметрии задают граничные условия. Это условие имеет вид:
,
и говорит о том, что через данную границу
отсутствует потока вектора напряженности
электрического поля.Аналитически получить решения уравнений Пуассона и Лапласа можно найти только для очень простой геометрии. В случае, когда нахождение аналитического решения осложняется данное уравнение можно решить численно. В частности, в одномерном случае для среды с изменяющимися свойствами, для расчёта распределения потенциала можно использовать следующую конечноразностную схему:
,
где
-
шаг по пространственной координате,
k=1…N
– номер
точки, в которой проводится расчёт
потенциала,
- значение потенциала, диэлектрической
проницаемости, плотности заряда в k–ой
точке.В большинстве случаев при расчёте параметров электрического поля в диэлектрической среде используется уравнения Пуассона или Лапласа.
§-4 Типичные примеры расчёта потенциалов электростатического поля.
Рассмотрим несколько случаев, для которых распределения потенциала можно найти в достаточно простых аналитических выражениях.