1.2.1. Дифференциальная форма уравнения

(1.5)

Математический смысл: Векторное дифференциальное уравнение, которое выражает зависимость появление вихревого магнитного поля от протекания тока проводимости и изменения вектора электрического смещения во времени.

Это уравнение можно представить в виде трёх алгебраических уравнений. В Декартовой системе координат эти уравнения будут иметь вид:

Здесь - орты x, y, z – индексы, которые показывают, что рассматриваемая величина есть проекция вектора на соответствующую ось.

Физическое содержание: ток проводимости ( ), т.е. движение электрических зарядов, и изменение электрического поля во времени ( ) сопровождаются вихревым магнитным полем.

Замечания:

1. В первом уравнении Максвелла реализуется принцип близкодействия, т.е. протекание тока проводимости и изменения электрического поля оказывают влияние только на бесконечно малые области пространства во круг точки, где это изменение произошло.

2. В физическом содержании уравнения словом – «сопровождается» подчёркивается факт неизвестности того, что первично, а что вторично (примерно тот же спор, о том, что было в начале – яйцо или курица).

3. Вихревым полем называют поле, линии напряжённости которого замкнуты сами на себя, т.е. не имеют начала и конца.

4. С помощью только этого уравнения описать электромагнитные процессы невозможно

Кстати:

• Член часто называют током смещения

• Ток смещения, описывает процесс протекания тока через конденсаторы с идеальным диэлектриком, т.е. с совершенно непроводящей средой

• Направление векторов тока проводимости и смещения связаны с направлением напряженности магнитного поля правилом правого винта

• Часто вектора тока проводимости и смещения заменяют одним вектором – вектором плотности полного тока:

• Следствием первого уравнения Максвелла является утверждение о том, что векторные линии полного тока всегда замкнуты, т.е. там, где заканчивается ток проводимости – начинается ток смещения, и наоборот. Математически это утверждение имеет вид дифференциального уравнения:

1.2.2. Интегральная форма первого уравнения Максвелла или закон полного тока

Пусть площадку s ограничивает замкнутый контур l. Выделим на этом контуре бесконечно малый отрезок dl. Введём понятие векторного элемента длины , где - касательная к линии контура в рассматриваемой точке. В любой точке пространства выполняется первое уравнение Максвелла (1.5): .

У множим правую и левую части уравнения на векторный элемент площади и проинтегрируем полученное уравнение по рассматриваемой площади s:

Рис.3

Правая часть этого уравнения есть полный ток, протекающий через площадку - . К левой части можно применить теорему Стокса. В результате, получим выражение для закона полного тока:

(1.6)

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме токов, которые обхватывает этот контур.

Замечания:

1. В интегральном виде четко определяется что является причиной ( ), а что следствием ( )

2. В данной форме реализуется принцип дальнодействия и одновременности, т.е. если в произвольной точке пространства появится ток, в то же самое время магнитное поле появится в любой точке пространства.

3. Данная форма уравнения Максвелла самодостаточна, т.е. с ее помощью можно решить как прямую задачу: определения напряжённости магнитного поля по известному току, так и обратную задачу: определение полного тока по известному распределению напряжённости магнитного поля.

§-3 Второе уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции.