Тема 4. Постоянное во времени магнитное поле

Определение.

Во круг области с упорядоченным движением заряженных частиц возникает магнитное поле. Если ток – постоянен, то и магнитное поле будет постоянным. Пространственное распределение магнитного поля принято характеризовать индукцией магнитного поля - .

Кстати:

• В расчётах, часто наряду с индукцией используют другую функцию поля – его напряжённость .

• И индукция магнитного поля и его напряжённость – векторные величины, в рассматриваемом случае зависящие только от пространственных координат.

• Постоянное магнитное поле может быть создано не только электрическим током, но и постоянным магнитом, в котором это поле создаётся за счёт замкнутых токов электронов в оболочках атомов и молекул. Постоянным магнитом может быть только магнитные материалы (материалов с остаточной магнитной индукцией). Более подробно механизмы образования постоянных магнитов описываются в доменной теории.

§-1 Основные уравнения. Граничные условия. «Магнитные заряды».

4.1.1. Основные уравнения.

Запишем для рассматриваемого случая уравнения Максвелла:

(4.1)

(4.2)

Первое из этих уравнений говорит о том, что магнитное поле обязательно вихревое, а его напряжённость связана с током проводимости. Второе - в природе нет магнитных зарядов, а линии индукции магнитного поля всегда замкнуты сами на себя.

Для линейной, изотропной среды индукция магнитного поля прямо пропорциональна его напряжённости: . Коэффициент пропорциональности – абсолютная магнитная проницаемость среды.

Для описания поля постоянных магнитов удобно ввести вектор намагниченности ( ), который характеризует магнитное состояние реального физического тела.

Рассмотрим индукцию магнитного поля в двух средах: вакууме и магнитном материале, при условии, что эта индукция создаётся одинаковой напряжённостью магнитного поля:

Разность между индукцией в магнитной среде и вакууме называют вектором намагниченности:

(4.3)

Коэффициент пропорциональности между напряжённостью магнитного поля и намагниченностью называют магнитной восприимчивостью среды - .

4.1.2. Условия на границе двух сред. Закон преломления векторных линий напряжённости магнитного поля.

Пусть нам дана граница двух сред с разными магнитными проницаемостями и . Необходимо определить, как изменятся направление и значение вектора напряжённости магнитного поля при прохождении его через эту границу со стороны первого материала (рис.4.1).

Рис.4.1.

Для решения этой задачи разложим вектор напряжённости магнитного поля на две составляющие. Первая – перпендикулярная поверхности раздела (нормальная составляющая, обозначаемая индексом n). Вторая – направленная по касательной к этой поверхности (касательная составляющая, обозначаемая индексом ). Тогда вектор напряжённости магнитного поля можно записать: и исследовать изменение нормальной и касательной составляющих вектора в отдельности.

Введём понятие угла наклона ( ) вектора напряжённости магнитного поля относительно поверхности раздела, т.о., чтобы .

Для нормальной составляющей, исходя из уравнения (4.2) можем записать: или . Касательные составляющие магнитного поля описываются в рамках первого уравнения Максвелла (4.1). Из этого уравнения, в частности, следует, что касательные составляющие напряжённости магнитного поля на границе двух сред всегда равны друг другу: .

Запишем отношение тангенсов углов падения и преломления:

Данное выражение называют законом преломления векторных линий напряжённости магнитного поля.

Замечания:

1. Аналогичным образом можно получить закон преломления векторных линий индукции магнитного поля.

2. В частном случае, когда линии напряжённости магнитного поля в немагнитной среде перпендикулярны поверхности магнитной среды ( ).

4.1.3. «Магнитные заряды».

«Магнитный заряд» - формально введённое понятие, которое удобно применять при решении задач о расчёте поля создаваемого постоянными магнитами.

Перепишем четвёртое уравнение Максвелла (4.2) через напряжённость магнитного поля и намагниченность:

или

Введём понятие связанных «магнитных зарядов»:

(4.4)

Тогда полученное выше уравнение можно записать в виде: .

Сравним полученное выражение с выражением для плотности связанного заряда, полученным в электростатике (2.4): .

Очевидно, что эти два дифференциальных уравнения отличаются только обозначениями. А если переменные описываются подобными по форме дифференциальными уравнениями и ГУ, то их решение будет подобно. Т.о., пользуясь аналогией электрических и «магнитных зарядов» можно решать задачи магнитостатики используя методы расчёта электростатических полей (глава 2).

В частности решение задачи о распределении магнитного поля предварительно намагниченного материала (т.е. зная для этого материала зависимость ) можно выполнить следующим образом:

1. Определить из (4.4) распределение объёмной плотности связанного «магнитного заряда».

2. Распределение напряжённости магнитного поля можно рассматривать как поле «магнитных зарядов», находящихся в вакууме. Каждый элементарный «заряд» ( ), в этом случае, создаёт в произвольной точке, на расстоянии r от себя бесконечно малое значение напряжённости магнитного поля:

(4.5)

В подобном случае для напряжённости электрического поля можно записать формулу, совпадающую с точностью до обозначений с (4.5):

3. Значение напряжённости магнитного поля в данной точке можно получить, просуммировав все бесконечно малые значения, т.е. «взяв» интеграл по объёму намагниченного материала (V):

§-2 Скалярный потенциал магнитного поля

4.2.1. Условия, при которых магнитное поле можно рассматривать как потенциальное поле.

Магнитное поле – принципиально вихревое:

Но в случае, когда в рассматриваемой среде нет тока, первое уравнение Максвелла можно переписать в виде:

Следовательно, поле в этой среде можно рассматривать как потенциальное. И как любому потенциальному полю, мы можем сопоставить ему скалярную величину (магнитный потенциал). По аналогии с электрическим полем, можно записать:

где - скалярный потенциал магнитного поля.

Замечания:

1. Аналогично электрическому полю можно ввести понятие разности магнитных потенциалов двух точек пространства:

2. Интеграл берется по любой линии, которая соединяет точки 1 и 2, в не зависимости от пути.

3. Четвёртое уравнение Максвелла в среде, где нет тока, можно переписать через магнитный потенциал:

4. Для среды с постоянными магнитными свойствами магнитный потенциал подчиняется уравнению Лапласа

4.2.2.Математические аналогии магнитного поля в среде, где нет тока, и электростатического поля.

Для «визуализации» этой аналогии сведём в таблицу уравнения, описывающие эти поля.

Уравнения магнитного поля в среде, где нет тока	Уравнения электростатики

Замечания:

1. Сравнение столбцов этой таблицы позволяет утверждать, что поля описываются аналогичными дифференциальными уравнениями.

2. Поскольку поля описываются одинаковыми уравнениями, то и решения этих уравнений будет иметь одинаковый вид. Т.е. для расчётов постоянного магнитного поля можно использовать методы, разработанные для электростатики, заменив при этом: , , , .

3. В частности, для расчёта напряжённости магнитного поля ( ) внутри шара из магнитного материала ( ), который помещён в однородное магнитное поле ( ) среды с , можно использовать формулу:

.

Для электрического поля в подобной ситуации формула выглядит следующим образом:

4. На рис. 4.2 приведено распределение напряжённости магнитного поля в системе: однородное магнитное поле – шар из магнитного материала для случая

Рис.4.2.

§-3 Индуктивность. Коэффициент взаимоиндукции.

4.3.1. Собственная индуктивность.

Пусть у нас есть контур из тонкого провода, расположенный в среде с магнитной проницаемостью (рис.4.3). Пусть по этому проводу течёт ток i (это формальное условие, с помощью которого удобно объяснить вводимый параметр). Протекающий по проводу ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле , интеграл от которого по площади S определяет магнитный поток Ф, протекающий через данную площадь.

Рис.4.3.

Коэффициент пропорциональности между током и магнитным потоком, который этот ток создаёт, называется индуктивностью:

Индуктивность можно найти по формуле:

,

где S – площадь, в которой создан магнитный поток.

Замечания:

1. Если провод образует замкнутый контур, площадь S равна площади поперечного сечения этого контура.

2. Если контур образуют n витков провода, то индуктивность этой системы равна: , где - потокосцепление.

3. Индуктивность контура зависит от его геометрии (S), магнитных свойств его материала и материала окружающей его среды.

4. В линейном случае индуктивность не зависит от протекающего тока. Т.е. индуктивность у проводника есть даже в том случае, когда по нему не течёт ток.

5. Изменение магнитного потока во времени приводит к тому, что на контуре возникает электродвижущая сила (э.д.с.):

6. Понятие индуктивности можно ввести и с помощью энергетического подхода. Известно, что плотность энергии магнитного поля равна . А сама энергия контура с током: . Тогда индуктивность – мера энергии, которую способен запасти данный контур:

Кстати:

• Индуктивностью обладают любые проводники. В частности, индуктивность прямого одиночного провода длиной - круглого сечения, радиус которого - , равна:

, где - магнитная проницаемость материала провода, - магнитная проницаемость окружающей провод среды. Первый член формулы – описывает внутреннюю индуктивность провода, второй – внешнюю. Интересно, что внутренняя индуктивность не зависит от радиуса проводника.

• Индуктивность контура пропорциональна магнитной проницаемости окружающей его среды. Поэтому, в случае, когда необходимо получить большое значение индуктивности (запасти значительное количество энергии магнитного поля) контур «мотают» на магнитном материале.

4.3.2. Взаимная индуктивность.

Пусть у нас есть контур из тонкого провода, расположенный в среде с магнитной проницаемостью . Площадь поперечного сечения контура - . Пусть по этому проводу течёт ток i. Протекающий по проводу ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле, которое будем описывать магнитным потоком Ф1. И пусть в это поле помещён другой контур из тонкого проводящего провода т.о. что часть магнитного потока Ф2, создаваемого первым контуром, пересекает сечение второго контура, площадь которого . Коэффициент пропорциональности между током первого контура и магнитным потоком, который этот ток создаёт во втором контуре, называется коэффициентом взаимной индукции (или взаимной индуктивностью - ):

Рис.4.4.

Этот коэффициент можно найти по формуле:

Часть магнитного потока создаваемого током в первом контуре, которая не пересекает сечение второго называют потоком рассеяния ( ).

По аналогии с взаимной индуктивностью можно ввести индуктивность рассеяния:

Замечания:

1. Коэффициент взаимоиндукции зависит от размеров и формы контуров ( , ), их взаимного расположения и расстояния между ними (зависит соотношение Ф₂ и Ф₁), магнитной проницаемости среды, в которую они помещены.

2. Максимальное значение коэффициента взаимоиндукции наблюдается в случае, когда весь поток первого контура пронизывает витки второго (Ф_S=0), равно

3. Если контура образуют n₁ и n₂ витков провода соответственно, то коэффициент взаимоиндукции этой системы равен: .