2.4.7. Распределение потенциала в однородном электрическом поле.

Пусть у нас есть область пространства, в которой напряжённость электрического поля является постоянной величиной ( ). Для нахождения потенциала удобно использовать декартовую систему координат. Выберем направление оси 0x т.о., чтобы оно совпадало с направлением напряжённости электрического поля. В этом случае распределение потенциала в диэлектрической среде будет зависеть только от расстояния от начала координат и выбранной точки отсчёта:

Рис.2.7

Замечания:

1. Если точка отсчёта будет совпадать с началом координат формула для определения потенциала упростится:

2. Поверхности равного потенциала представляют собой плоскости, перпендикулярные оси 0x:

3. Однородное электрическое поле создаёт заряженная плоскость отнесённая на бесконечность.

2.4.8. Распределение потенциала заряженной плоскости

Пусть у нас есть заряженная плоскость с равномерно распределённым по ней зарядом плотностью . При расчётах будем использовать декартовую систему координат. Выберем ось 0x т.о., чтобы она была перпендикулярна заряженной плоскости. Тогда направление вектора напряжённости электрического поля будет совпадать с направлением оси 0x, а её модуль будет равен

Проинтегрируем данное выражение с учётом направления напряжённости поля:

в случае, если x>0

в случае, если x<0

Рис.2.8

Замечания:

1. Постоянная С₁ в этом случае определяет значение потенциала на заряженной плоскости.

2. В случае, когда точка отсчёта находится на заряженной плоскости С₁=0

3. Двойки в знаменателе формул для определения напряжённости поля и потенциала связаны с тем, что общий заряд плоскости делится на две части и поле с одной стороны плоскости создаётся только половиной общего заряда.

2.4.9. Распределение потенциала двойной заряженной плоскости

Эта задача решается методом наложения как сумма напряженностей и потенциалов заряженных плоскостей.

§-5 Метод зеркальных отображений в электростатике (метод эквивалентных зарядов)

5.1. Отражение поля от проводящей поверхности

Пусть у нас есть заряженное шарообразное тело (заряд – q, диаметр - d_пр), расположенный в идеальном диэлектрике на расстоянии h над поверхностью полу бесконечной проводящей среды, которая находится под нулевым потенциалом

Рис.2.9

Физика процесса:

Наличие заряда q приводит к перераспределению свободных зарядов в проводящей среде. На поверхности полу бесконечной проводящей среды появляются заряды, знаки которых противоположны знаку q (явление электростатической индукции). При этом, распределение этих зарядов таково, что поле внутри проводящей среды оказывается равно нулю.

Математика:

Для определения распределения потенциала нам необходимо решить уравнение Пуассона, граничными условиями для которого является точечный заряд и равенство нулю потенциала на поверхности проводящей среды.

Согласно теореме о единственности решения уравнения Пуассона при одинаковой геометрии и граничных условий в рассматриваемых системах (принцип полного соответствия), распределение потенциала в верхней полуплоскости в случае заряда над проводящей средой и в случае двух точечных зарядов разного знака, расположенных на расстоянии (см. 2.4.2) будет одинаково. Т.е. поле в диэлектрике будет таким будто бы оно создаётся двумя зарядами разного знака, которые расположены в однородном диэлектрике. Т.о. влияние проводящей среды учитывается с помощью введения вспомогательного заряда, а сама среда – удаляется.

Замечания:

1. Часто подобное решение используется для определения силы, действующий на заряд, который находится над проводящей средой:

2. Все приведённые выше выводы справедливы и для заряженных нитей, только распределение потенциала необходимо рассчитывать с помощью формулы:

3. Изложенный выше подход к решению подобных задач часто используется в оптике. Отсюда – используемая терминология. В частности, вспомогательный заряд часто называют зарядом изображением.