§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение. Для вычисления
запишем ряд (5.3) при
,
принадлежащем области сходимости
:
Взяв первые пять членов разложения, на
основании следствия из теоремы Лейбница
для сходящегося знакочередующегося
ряда, мы допустим погрешность
,
не превышающую первого отброшенного
члена (по абсолютной величине), т.е.
.
Итак,
б)
Решение. Воспользуемся разложением
(5.11), подставив в него
,
входящее в область сходимости
:
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность
(здесь
мы учли, что сумма сходящегося
геометрического ряда в скобках равна
)
Итак,
в)
Решение. Для вычисления
запишем ряд (5.4) при
,
принадлежащем области сходимости
:
(необходимо
взять два члена, так как при этом
погрешность
).
Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение. Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (5.4). Разделив обе части на , получим
,
причем ряд сходится при всех значениях
.
Интегрируя почленно, получим:
Возьмем
первые три члена разложения, т.к.
.
Итак,
б)
Решение. Заменив
на
в разложении (5.3), получим:
.
Умножая полученный ряд на
:
,
и
почленно интегрируя в интервале
,
принадлежащем интервалу сходимости
ряда
,
имеем:
При этом
.
Итак,
.
Задачи
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
93.
по степеням
94
по степеням
95.
по степеням
96.
по степеням
97.
по степеням
98.
по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
99.
100.
101.
102.
103.
104.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
105.
106.
Ответы
В задачах 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.
В задачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40, и 41 – ряды расходятся.
В задачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.
В задачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.
В задачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.
60. (-1;1], 61. (-1/2;1/2), 62. {0}, 63. (-1/3;1/3], 64. (-1;1), 65. [0;2], 66. [-10;10), 67. (-∞;∞), 68. (-7;-1), 69. [-4;4), 70. (-2;2),
71.
,
72. [1;3),
73.
(-1/3;1/3), 74.
(-∞;∞), 75.
[-1;1], 76.
[-1;1), 77.
(1;5], 78.
(-1/4;1/4),
79.
(-1/3;1/3), 80.
(-3;1], 81.
(-1;1], 82.
(-∞;∞), 83.
,
84.
,
85.
[-1/e;1/e),
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
.
Содержание
§1. Основные понятия 4
§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 10
§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов 22
§4. Степенные ряды 27
§5. Ряды Маклорена и Тейлора 33
§6. Применение рядов в приближенных вычислениях 39
Ответы 43
Издание учебное
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк
Ряды
Подписано в печать 2013 г. Формат 6084/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2. Тираж 200. Заказ №
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Издательско-полиграфический центр
117571, Москва, просп. Вернадского, 86.
*
Напомним, что степенью степенного
выражения называется наибольшая из
степеней входящих в него слагаемых,
само это слагаемое называется старшим,
а его коэффициент называется старшим
коэффициентом. Например, у степенного
выражения
старшее слагаемое
имеет степень 1,5, а старший коэффициент
равен 5.