§5. Ряды Маклорена и Тейлора

Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

(5.1)

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

…………………………………………………………….

Полагая в полученных равенствах , получим , , , , …, , откуда

, , , ,…, ,…

Подставляя значения коэффициентов в (5.1), получим ряд:

(5.2)

называемый рядом Маклорена.

Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции .

Если представить ряд Маклорена в виде , где – -я частичная сумма ряда, – -й остаток ряда, то можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора:

, где – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в форме Лагранжа:

, .

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1.

Имеем ;

, и по формуле (5.2) получаем

. (5.3)

Областью сходимости этого степенного ряда является интервал .

2.

Имеем: , , , , , и т.д., откуда

, , , , и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка , , и по формуле (5.2) имеем

(5.4)

Область сходимости ряда .

3. .

По аналогии с разложением функции получим:

(5.5)

Область сходимости ряда .

4. , где – любое действительное число.

Имеем , ,

, , …,

, …

При : , , ,

, …, и по формуле (5.2) получаем

(5.6)

Найдем интервал сходимости ряда:

Ряд, составленный из модулей , исследуем с помощью признака Даламбера:

.

Следовательно, интервал сходимости ряда . На концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений .

Ряд (5.6) называется биномиальным. Если – целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при сомножитель равен нулю, следовательно, -ый член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Выпишем некоторые разложения функции при различных .

:

, (5.7)

Если в это разложение подставить вместо , получим:

(5.8)

:

, (5.9)

:

, (5.10)

5. .

Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (5.7) и свойством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (5.7) в интервале , где , с учетом того, что , получим

(5.11)

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть .

6.

Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (5.8):

(5.12)

Область сходимости ряда .

7.

Воспользуемся разложением (5.10), подставив в него вместо :

Интегрируя в интервале , где , получаем:

(5.13)

Область сходимости ряда:

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (5.3) – (5.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (5.3) – (5.13).

Примеры

1) Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой

Разложим в ряд Маклорена функцию , заменяя в разложении (5.5) на :

Тогда

Это и есть разложение в ряд Маклорена функции . Очевидно, что оно справедливо при любом .

2) Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию

Решение. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было воспользоваться разложением (5.7):

Полученное разложение справедливо, когда . Отсюда получаем или .