3.2. Абстрактний векторний простiр

Слово абстрактний вживають тiльки тодi, коли його хочуть протиставити координатному векторному простору , .

Означення. Множина називається векторним простором над , якщо на цій множині введено двi операцiї: додавання векторiв та множення вектора на скаляр , причому цi операцiї задовольняють наведені нижче аксiоми:

1. асоцiативнiсть додавання: для довiльних ;

2. iснування нуля: iснує елемент такий, що для довiльного виконується ;

3. iснування протилежного елемента: для довiльного iснує елемент такий, що ;

4. комутативнiсть додавання: для довiльних ;

5. асоцiативнiсть множення на скаляр: для довiльних , ;

6. унiтарнiсть: для довiльного ;

7. два закони дистрибутивностi:

для довiльних , ,

для довiльних , .

Властивості 1)-7) задовольняються, якщо замість розглядати множину , а замість множення на скаляр -- просто множення чисел з . Крім того, в виконуються властивості комутативності множення та iснування оберненого елемента: для довiльного ненульового iснує елемент такий, що . При цьому кажуть, що утворює поле. Простір над називають простором над полем .

Звичайно, координатний векторний простiр , задовольняє аксіоми абстрактного векторного простору. Дамо означення пiдпростору.

Означення. Пiдмножина називається пiдпростором у просторi , якщо є векторним простором вiдносно тих само операцiй додавання векторiв та множення вектора на скаляр, тобто для з тими ж операцiями виконуються всi умови 1)-7).

Твердження. є пiдпростором, якщо виконуються такі умови:

1. для довiльних ;

2. для довiльних , .

Найпростiшими прикладами пiдпросторів простору є нульовий пiдпростiр та сам простiр . Усi пiдпростори, вiдмiннi вiд нульового та , називаються власними пiдпросторами простору .

Лема. Нехай  – це деяка матриця розмiру ,  – відповідне їй лінійне відображення: . Тоді

1) є пiдпростором в ;

2) є пiдпростором в .

3.3. Ранг системи векторiв

Усі означення попереднього параграфа, що стосуються лінійної залежності векторів, переносяться на випадок довільного векторного простору .

Означення. Нехай є деяка система векторiв простору i деяка пiдмножина в множинi . Система векторiв називається пiдсистемою в системi . Зокрема, . Ту обставину, що система є пiдсистемою в системi , позначаємо так: .

Кожна пiдсистема, звичайно, сама є системою векторiв.

Нехай є деяка iнша пiдмножина в множинi . Припустимо, що множина є пiдмножиною в множинi , У цьому випадку, очевидно, система є пiдсистемою в системi , тобто .

Приклад. Розглянемо систему векторiв

= .

Щоб побудувати яку-небудь пiдсистему в системi , потрібно вказати деяку пiдмножину в множинi iндексiв . Пiдмножинi у множинi iндексiв вiдповiдає пiдсистема , або ж = . Пiдмножинi вiдповiдає пiдсистема . або ж . У цьому випадку має мiсце включення на множинах iндексiв тобто . Мiж пiдсистемами теж має мiсце включення тобто .

Якщо система  – лiнiйно незалежна, то довiльна її пiдсистема теж лiнiйно незалежна.

Означення. Пiдсистема називається максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою, якщо

а) пiдсистема є лiнiйно незалежна система;

б) якщо додамо до пiдсистеми довiльний вектор з системи , одержана система стає лiнiйно залежною.

Приклад. Розглянемо ту саму систему векторiв

= .

а множина . Тодi пiдсистема є лiнiйно незалежною, у той же час вона не є максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою. Чому? Тому що до можна додати ще один вектор із системи так, що одержана система залишиться лiнiйно незалежною. Дiйсно, додамо до системи вектор та перевiримо, що одержана система є лiнiйно незалежною. Згiдно з попереднiм зауваженням, для перевiрки лiнiйної незалежностi системи векторiв достатньо перевiрити, що однорiдна система лiнiйних рiвнянь з матрицею має тiльки нульовий розв'язок. Розв'язуємо систему методом Гаусса.

.

Отже, єдиним розв'язком нашої системи є нульовий розв'язок

Задачa. Користуючись означенням, перевiрте самостiйно, що система є максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою в .

Твердження. Якщо є максимальна лiнiйно незалежна пiдсистема в , то довiльний вектор лiнiйно виражається через вектори цiєї пiдсистеми .

Один зi способiв знаходження максимальної лiнiйно незалежної пiдсистеми буде наведено далi.

Означення. Рангом системи векторiв називається кiлькiсть векторiв у деякiй максимальнiй лiнiйно незалежнiй пiдсистемi .

Зауваження. Двi довiльнi максимальнi лiнiйно незалежнi пiдсистеми системи мiстять однакову кiлькiсть елементiв!