2.5. Задачі для самостійного розв'язання

Знайдіть обернені до матриць

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. .

3. Ранги

3.1. Лiнiйна залежнiсть векторiв

Означення. Зафiксуємо деяке число . Лiнiйною комбiнацiєю векторiв з коефiцiєнтами називається вектор вигляду де  – деякi числа (з ).

Скiнченна послiдовнiсть, або набiр векторiв однакового розмiру називається системою векторiв. Iнодi використовують позначення , де .

Нехай  – деяка система векторiв. Система векторiв називається лiнiйно залежною, якщо iснує набiр чисел , серед яких є щонайменше одне відмінне 0, таких, що .

Система векторiв називається лiнiйно незалежною, якщо для довiльного набору з чисел рiвнiсть має мiсце тiльки тодi, коли .

Зауваження. Лiнiйна комбiнацiя, що дорівнює нулю, iснує завжди – коли всi коефiцiєнти дорiвнюють нулю. У визначеннi лiнiйної залежностi хоча б один з коефiцiєнтiв не рiвний нулю!

Означення. Нехай деяка система векторiв. Ненульовий вектор-стовпчик разом зi спiввiдношенням називається лiнiйною залежнiстю мiж векторами .

Приклади. 1. Припустимо, що система складається з двох векторiв , таких, що . Тодi ця система є лiнiйно залежною. Дiйсно, покладемо Тодi .

2. Деяке узагальнення попереднього прикладу. Припустимо, що система мiстить два рiвні вектори , . Тодi ця система є лiнiйно залежною. Якщо покладемо , , для всiх iнших , то .

3. Припустимо, що система складається з одного вектора Перевiрте (це просто), що ця система буде лiнiйно незалежною, коли та лiнiйно залежною, коли .

Отже, система є лiнiйно незалежною, а система – лiнiйно залежною.

4. Система векторiв, що мiстить нульовий вектор, завжди лiнiйно залежна.

Покажіть це.

Означимо в -вимірному числовому просторі вектори : є такий вектор з , у якого всi координати, крiм -тої, дорiвнюють нулю, а -та координата дорiвнює . Через позначається символ Кронекера. Вiн залежить вiд двох iндексiв та і визначається формулою: .

Наприклад, Використовуючи символ Кронекера, можемо записати формулу для координат вектора , .

Задачa. Довести, що система векторiв для довiльного є лiнiйно незалежною.

Розв'язання. Припустимо, що . Але тоді .

Оскiльки у рiвних векторiв однойменнi координати дорівнюють одна одній, одержуємо .

Приклад. Нехай заданi векторiв розмiрностi . Як перевiрити, чи є вони лiнiйно залежними? Як знайти всi лiнiйнi залежностi мiж цими векторами?

Розв'язання. Щоб розв'язати цю задачу, запишемо вектори як вектори-стовпчики:

, , , .

Перший iндекс у цьому запису означає номер координати, а другий – позначає номер вiдповiдного вектора.

Запишемо умову , використовуючи координати векторiв:

.

.

Два вектори рiвнi тодi i тiльки тодi, коли рiвнi їх однойменнi координати. Тому останню рiвнiсть переписуємо як систему лiнiйних рiвнянь вiдносно невiдомих :

(3)

Наведенi вище мiркування дозволяють сформулювати таке правило.

Правило. Система векторiв є лiнiйно залежною тодi i тiльки тодi, коли система лiнiйних рiвнянь (3) має ненульовий розв'язок. Знайти всi лiнiйнi залежностi мiж векторами означає: знайти всi ненульовi розв'язки системи (3).

Розширена матриця системи (3) одержується так: її першi стовпчикiв збiгаються з векторами-стовпчиками , а останнiй стовпчик є нульовим, тобто

.

Нагадаємо, що в однорiднiй системi рiвнянь нульовий стовпчик правих частин для спрощення не пишеться. Тому розглядаємо в наступному прикладi тiльки матрицю системи , а не розширену матрицю системи.

Задачa. Знайти всi лiнiйнi залежностi мiж векторами

, , , .

Розв'язання. Згдіно з наведеним вище правилом, для знаходження всiх лiнiйних залежностей мiж указаними векторами необхiдно знайти всi ненульовi розв'зки однорiдної системи з матрицею

.

Систему розв'язуємо за допомогою методу Гаусса:

.

Отже, одержаний розв'язок буде: Лiнiйнiй залежностi вiдповiдає будь-який ненульовий розв'язок.

Вiдповiдь. Коефiцiєнти лiнiйної залежностi визначається так: є довiльними, такими, що не дорівнюють одночасно нулю, Наприклад, поклавши , , одержимо , , а отже, маємо лінійну залежність: .

Укажемо на зв'язок між множенням матрицi на вектор та лiнiйними комбiнацiями.

Припустимо, що матриця зображена у виглядi векторiв-стовпчикiв. Тодi утворити лiнiйну комбiнацiю цих векторiв з коефiцiєнтами  – це те саме, що помножити матрицю справа на вектор : .

Нехай матриця зображена як об'єднання своїх рядкiв. Тодi утворити лiнiйну комбiнацiю цих векторiв з коефiцiєнтами  – це те саме, що помножити матрицю зліва на вектор : .