2.4.1. Як знайти обернену матрицю?

Правило.

Щоб знайти обернену до матриці розміру , потрібно:

1. Приписати праворуч від матриці одиничну матрицю розміру , у результаті утворюється матриця розміру

.

Як завжди, вертикальна лінія проведена для того, щоб відділити частину матриці, яка дорівнює матриці , від тієї частини, що дорівнює одиничній матриці.

2. Виконувати елементарні перетворення над рядками матриці так, щоб на місці, де знаходиться матриця , утворилась матриця (звичайно, матриця має розмір .) Тоді на тому місці, де знаходилась матриця , буде знаходитись матриця :

Пункт 2) можна також переформулювати так:

2') Виконуємо елементарні перетворення рядків матриці , при цьому ми виконуємо ті самі перетворення над рядками матриці , Послідовність цих елементарних перетворень має бути такою, щоб матриця перетворилася на одиничну матрицю, при цьому матриця перетвориться на обернену до матрицю .

Приклад. Знайдемо матрицю, обернену до матриці

Розв'язок. Запишемо спочатку матрицю

.

Далі вкажемо послідовність елементарних перетворень, яка зводить праву частину цієї матриці до вигляду :

.

В одержаній матриці розміру першi два стовпчики утворюють одиничну матрицю розміру . Згідно з наведеним правилом, два стовпчики, що залишились (третій та четвертий), утворюють обернену до матрицю.

Вiдповідь. .

Зауваження. Відповідно до пункта 2') наведеного правила нам необхiдно вміти перетворювати деяку матрицю за допомогою елементарних перетворень рядків до вигляду . Ще раз нагадаємо, що далеко не довільну квадратну матрицю можна звести до такого вигляду. Якщо таке зведення можливе, то матриця є оборотною.

2.4.2. Як розкласти оборотну матрицю в добуток елементарних?

Щоб розкласти оборотну -матрицю в добуток елементарних -матриць, слід виконати послідовність елементарних перетворень рядків, що зводять матрицю до одиничної, записуючи щоразу відповідну елементарну матрицю. У результаті отримаємо перетворення

,

де  – елементарні матриці вигляду та . Тоді матриця розкладеться в добуток елементарних:

.

Розклад матриці в добуток елементарних неоднозначний!

Приклад. Розкласти матрицю у добуток елементарних. Виконаємо послідовність елементарних перетворень:

Випишемо добуток відповідних матриць: , отже маємо

.

2.4.3. Способи зведення матриці до одиничної

Правило. У цьому пункті наводиться спосіб зведення деякої матриці до вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків. Цей спосіб є фактично алгоритмом, який дає змогу або переконатися на якомусь кроці, що матриця не має оберненої, або побудувати обернену, виконавши всю послідовність кроків. Звичайно, читач може скористатись i яким-небудь іншим способом.

Крок 1. Зводимо спочатку матрицю до верхнього трикутного вигляду.

Крок 2. Зводимо після цього одержану матрицю до діагонального вигляду, якщо це можливо (тобто якщо матриця є оборотною).

Крок 3. Зводимо після цього одержану матрицю до вигляду , якщо всі діагональні елементи відмінні від ; у протилежному разі матриця не є оборотною. Зробити це неважко, розділивши відповідні рядки на значення діагонального елемента, відмінні від нуля.

Якщо матриця є цілочисельною, то і зведення її до верхнього трикутного вигляду може бути здіснене "в цілих числах", тобто таким чином, що всі проміжні матриці матимуть цілі елементи. Нижче подано можливий варіант такого зведення.

Знаходимо ненульовий елемент у першому стовпчику. Якщо такого елемента немає, то матриця не має оберненої i робота припиняється. Якщо ненульовий елемент існує, перетворюємо перший стовпчик матриці до вигляду: .

Як завжди, "вбити" всі, крім першого, елементи деякого стовпчика можна двома способами.

Варіант 1. Спочатку виберемо в першому стовпчику мінімальний за модулем ненульовий елемент і переставимо рядки матриці так, щоб він опинився на першому місці в першому стовпчику, тобто на місці , позначатимемо його знову . Якщо при цьому решта елементів у стовпчику є нульовими, то роботу закінчено. Далі для кожного iншого елемента з указаного стовпчика віднімаємо від -того рядка рядок з номером iз таким коефiцієнтом , щоб одержана різниця за модулем була менша, ніж . У результаті або ж усі елементи першого стовпчика (за виключенням, звичайно, ) перетворюються на нуль (i мети досягнуто), або ж елемент перестає бути мінімальним за модулем ненульовим елементом у першому стовпчику, i нам знову необхідно виконати всі вказані в цьому абзаці дії спочатку. Легко помітити, що ця процедура через кілька кроків закінчиться.

Варіант 2. У цьому варіанті не обов'язково використовувати найменший за модулем елемент стовпчика. Розглянемо -тий рядок матриці. Спочатку зробимо так, щоб елемент ділився на . Якщо елемент не ділиться на , то помножимо -тий рядок на деяке ненульове число так, щоб уже ділився на , наприклад, завжди можна помножити цей рядок на , тобто взяти , iнколи можна взяти менше за модулем значення .

Отже, виконавши таке перетворення, можна вважати, що ділиться на . Після цього додаємо перший рядок, помножений на ціле число , до -того рядка. При цьому елемент iз номером перетворюється на нуль, оскільки .

Після виконання першого кроку одержана матриця матиме вигляд , де  – квадратна -матриця. Далі виконуємо вище означені перетворення рядків матриці ; після -шого кроку процедура зведення завершується.