1.4. Векторний простір

Вектори можна додавати та множити на число. Визначимо дiю додавання та дiю множення на число для векторiв-рядкiв. У випадку векторiв-стовпчикiв все робиться аналогiчно.

Означення. Якщо та – два вектори, то їх сумою називають вектор . Якщо є деяке дійсне число, то його добутком на вектор називають вектор .

Зауважимо, що додавати можна тільки вектори однакового розміру!

Надалі числа називатимемо деколи скалярами.

Приклад. Нехай , , . Тодi , , .

Визначенi операцiї з векторами мають звичнi нам властивостi асоцiативностi, дистрибутивностi та комутативностi, а саме: для довiльних векторiв , та i скалярiв та виконується:

• ;

• ;

• ;

• .

Нагадаємо, що було дано визначення для векторiв-рядкiв, але все, що робимо для рядкiв, можливо зробити i з векторами-стовпчиками.

Фiксуємо деяке натуральне число .

Означення. Множина всiх числових векторiв (рядкiв або стовпчикiв) з координатами називається числовим векторним простором розмiрностi . Цей простiр позначаємо через . Простiр ще називають координатним векторним простором. Через звичайно позначають множину усіх дійсних чисел.

1.5. Множення матрицi на вектор

Розглянемо систему лінійних рівнянь

(1)

з матрицею Нехай маємо деякий числовий вектор-стовпчик , i треба перевiрити, чи є цей вектор розв'язком системи. Дiзнатись про це можна, пiдставивши значення замiсть у кожне з рiвнянь та порівнявши одержане число з . При цьому одержанi значення, як правило, записують у виглядi стовпчика: на першому мiсцi – результат пiдстановки у перше рiвняння, на другому – у друге, ..., на -му – результат пiдстановки в -те рiвняння, тобто

.

Результат такої пiдстановки зручно записувати у виглядi добутку матрицi на вектор . Далi побачимо, що так визначений добуток має багато спiльного зi звичайним добутком чисел.

Означення. Нехай , є деяка матриця, є вектор-стовпчик висоти . Добутком матрицi на стовпчик називається стовпчик висоти , -тий елемент якого дорiвнює . Отже,

.

Приклад. Обчислимо деякi добутки матрицi на вектор-стовпчик:

1) ;

2) .

Основнi властивостi множення матрицi на вектор зумовленi властивостями операцiй над векторами. Нехай матриця має розмiр . Тодi

1. Має мiсце закон дистрибутивностi: якщо , , то .

2. Якщо є деякий скаляр, , то .

1.6. Елементарнi перетворення матриць

Означення. Нехай  – довiльна матриця. Перетворення матрицi одного з видiв:

1) -тий рядок матрицi множиться на деяке число ;

2) до -того рядка матрицi додається -тий, , помножений на деяке число ;

3) -тий та -тий рядки матрицi мiняються мiсцями

називаються елементарними перетвореннями рядкiв матрицi .

Указанi вище перетворення над матрицею можна записати, використовуючи розбиття матрицi на рядки. Нехай

, де , .

Множення -того рядка на записується у такому виглядi:

.

Додавання -того рядка, помноженого на до -того рядка, записується у виглядi

, якщо ,

або , якщо .

Перестановка -того та -того рядкiв записується так:

.

(Зауважимо, що деколи позначення ми пропускатимемо).

Зрозумiло, елементарнi перетворення можна виконувати i над стовпчиками матриць.

Означення. Нехай  – довiльна матриця. Перетворення матрицi одного з видiв:

1) -тий стовпчик матрицi множиться на деяке число ;

2) до -того стовпчика матрицi додається -тий, , помножений на деяке число ;

3) -тий та -тий стовпчики матрицi мiняються мiсцями

називаються елементарними перетвореннями стовпчикiв матрицi .

Приклад. Нехай Наведемо результати деяких елементарних перетворень стовпчикiв матрицi :

Множення першого стовпчика на :

Множення другого стовпчика на :

Додавання до другого стовпчика матрицi першого стовпчика, помноженого на :

.

Додавання до першого стовпчика матрицi другого стовпчика, помноженого на :

.

Указанi вище перетворення над матрицею можна записати, використовуючи розбиття матрицi на стовпчики

, де , .

Множення -того стовпчика на записується у виглядi

.

Додавання -того стовпчика, помноженого на до -того стовпчика, записується у виглядi

якщо , або

якщо .

Зауважимо, що перетворення рядків та стовпчиків позначаються однаково: та . Про які саме перетворення йдеться, як правило, зрозуміло з контексту.

Твердження. Перестановка двох довiльних стовпчикiв є суперпозицiєю елементарних перетворень стовпчиків виду 1) та 2).

Твердження залишається вiрним, коли замiнити в попередньому фактi слово "стовпчик" на слово "рядок".

Розв'язання. Ми доведемо наведене твердження у випадку стовпчикiв (у випадку рядкiв доведення є цiлком аналогiчним).

Для цього розглянемо матрицю , зображену як систему своїх стовпчикiв. У матрицi розглянемо два рiзні стовпчики , , Залишивши в запису матрицi тiльки цi два стовпчики ( -тий та -тий), випишемо ланцюжок елементарних перетворень указаного вище вигляду 1), 2), який здiйснює перестановку -того та -того стовпчикiв:

.

Приклад. Виконаємо наведенi в доведеннi обчислення на прикладi матрицi .

.

Розглянемо важливе питання, вiдповiдь на яке допоможе при практичному розв'язанні багатьох задач лінійної алгебри.

Задачa. До якого вигляду можна звести матрицю за допомогою елементарних перетворень рядкiв?

Розв'язання. Довiльна матриця за допомогою елементарних перетворень рядкiв може бути зведена до східчастого вигляду. Це означає, що всi ненульовi елементи цiєї матрицi утворюють конфігурацію, що має вигляд "сходинок":

На кожному уступi таких сходинок знаходиться ненульовий елемент. Цей елемент називається провідним i у наведеній матриці провідний елемент відмічений зірочкою у квадраті: . При цьому виконуються такi властивостi:

1. усi ненульовi рядки розмiщенi вище нульових;

2. кожний провідний елемент є першим злiва ненульовим елементом у своєму рядку;

3. кожний провідний елемент є першим знизу ненульовим елементом у своєму стовпчику;

4. провідний елемент для кожного рядка лежить правiше вiд провідних елементiв попереднiх рядкiв.

Правило. Якi перетворення рядкiв необхiдно виконувати, щоб звести довiльну матрицю розмiру до такого вигляду? Наведемо один крок таких перетворень, а далi все виконується цiлком аналогiчно.

1. Знаходимо перший ненульовий стовпчик матрицi для визначеностi позначимо його номер через

2. Вибираємо в цьому стовпчику деякий ненульовий елемент , що знаходиться в рядку з номером

3. Мiняємо мiсцями перший та -тий рядки так, що елемент виявляється на мiсцi з номером .

4. За допомогою одержаного елемента з індексом перетворюємо на нуль усi елементи -того стовпчика, якi знаходяться пiд елементом Елемент з номером оголошуємо ведучим у першому рядку.

5. Пiсля цього "подумки" вiдкидаємо в матрицi перший рядок i виконуємо дiї, описанi в пунктах 1) – 4) щодо матрицi розмiру яка одержується з пiсля вiдкидання першого рядка.

6. Повторюючи вказанi в пунктi 5) дiї, приходимо або до нульової матрицi, або ж до останнього рядка, на чому робота закiнчується.

Зауваження. У наведеній вище матриці східчастого вигляду можна зробити додаткові елементарні перетворення рядків з тим, щоб виконувались такі умови:

• провідний елемент є єдиним ненульовим елементом у своєму стовпчику;

• провідний елемент є одиницею.

Означення. Говоримо, що матриця зведена до канонiчної рядкової форми, якщо вона має східчастий вигляд i провідний елемент є єдиним ненульовим елементом у своєму стовпчику.

Наприклад, матриці

, .

зведені до канонічної рядкової форми (провідні елементи виділені), а матриці

, .

– ні. Чому?

Якщо в матриці , зведеній перетвореннями рядків до канонічного рядкового вигляду з одиничними провідними елементами, дозволити додатково переставляти стовпчики, то матриця зведеться до вигляду

, (2)

де – це деяка -матриця.

Наприклад, матрицю з провідними елементами та запишемо у вигляді , де в рядку над матрицею вкажемо порядкові номери стовпчиків. Тоді в результаті ланцюжка перетворень

, де

одержимо зведення матриці до канонічного виду (2).