4.5. Мiнори

Означення. Нехай

.

є деяка матриця з . Мiнором елемента (або просто елемента , або ж -тим мiнором) матрицi називається визначник матрицi , яка одержується з матрицi викресленням -того рядка та -того стовпчика

.

Приклад. Для матрицi

її мінор елемента дорівнює

.

Означення. Нехай

.

Алгебраїчним доповненням елемента (або просто, елемента ) матриці називається число , де  – це -тий мiнор матрицi .

Приклад. Для матрицi з попереднього прикладу алгебраїчне доповнення

.

Важливим твердженням про алгебраїчнi доповнення в теорiї детермiнанта є теорема про розклад визначника за рядком або ж за стовпчиком.

Теорема.

А. Визначник матрицi дорiвнює сумi добуткiв усiх елементiв будь-якого стовпчика на вiдповiднi алгебраїчнi доповнення:

, .

В. Визначник матрицi дорiвнює сумi добуткiв усiх елементiв будь-якого рядка на вiдповiднi алгебраїчнi доповнення:

, .

Задачa. Обчислити визначник .

Розв'язання. Для розв'язування задачi використовуємо розклад визначника за другим стовпчиком.

.

4.6. Задачі для самостійного розв'язання

1. Запишіть доданок з формули для визначника матрицi , котрий вiдповiдає пiдстановкам:

а) ; в) .

2. Знайдіть детермінанти, користуючись лише визначенням:

a). ; b). ; c). .

3. Знайдіть детермінанти, застосовуючи метод Гаусса:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e). ;

g) ; f) .

4. Знайдіть детермінанти, використовуючи розклад за рядком або стовпчиком:

a). , b). , c). .

Відповіді на задачі для самостійного розв'язання

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

2.4. ; 2.5. ;

2.6. ; 2.7. .

3.1. a) 1, b) 4; 3.2. a) , b) ; 3.2. a) 1, b) 4; 3.3. – база, ; 3.4. a) 1, якщо , 2, якщо ; b) 2, якщо , 3, якщо ; 3.5. 0, 1 або 2; 3.6. a) так, b) так, c) ні.

4.1. a) 1; b) –1. 4.2. a) –1; b) –2; c) 1. 4.3. a) -3718; b) 21; c) 26; d) –8; e) –2; g) 6; f) . 4.4. a) 1; b) –1; c) 4.

Рекомендована лiтература

1. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский Сборник задач по высшей алгебре. – М., Наука, 1977.

2. И.В.Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре. – М., Наука, 1967.

3. А.И.Кострикин Сборник задач по алгебре. – М., Наука, 1995.

4. А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М., Наука, 1975.

5. С.А.Овсієнко, В.С.Мазорчук, Н.С.Головащук. Системи лінійних рівнянь. Навчальний посібник. – К:. ВПЦ “Київський університет”, 2002.

ЗМІСТ

1. Загальнi факти про матричнi рiвняння

1.1. Вступ

1.2. Матриці

1.3. Вектори

1.4. Векторний простір

1.5. Множення матриці на вектор

1.6. Елементарні перетворення матриць

1.7. Матричне означення системи лінійних рівнянь

1.8. Лінійне відображення, пов'язане з матрицею

2. Множення матриць

2.1. Суперпозиція лінійних відображень

2.2. Розбиття матриці на рядки і стовпчики та множення матриць

2.3. Множення на елементарні матриці

2.4. Обернені матриці

2.5. Задачі для самостійного розв'язання

3. Ранги

3.1. Лінійна залежність векторів

3.2. Абстрактний векторний простір

3.3. Ранг системи векторів

3.4. Ранг матриці

3.5. Поняття лінійної оболонки

3.6. Розв'язування сістем лінійних рівнянь

3.7. Методика розв'язування задач

3.8. Задачі для самостійного розв'язання

4. Визначник

4.1. Функція визначника

4.2. Обчислення визначника за методом Гаусса

4.3. Перестановки та підстановки

4.4. Формула для обчислення визначника

4.5. Мінори

4.6. Задачі для самостійного розв'язання

Відповіді на задачі для самостійного розв'язання

Рекомендована лiтература

14