3.8. Задачі для самостійного розв'язання

1. Знайти ранг системи векторів:

1. ;

2. .

2. Знайти максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему в системi (еквівалентно: Знайдіть який-небудь базис лінійної оболонки векторів , що складається з указаних векторів)

а) ;

b) .

3. Знайти ранг і який-небудь базис системи векторів , , , та виразьте через цей базис решту векторів.

4. Знайти ранг матриці залежно від значення параметра :

a) ; b) .

5. Знайти всі можливі значення рангу матриці виду:

.

6. Векторний підпростір натягнутий на вектори , , . Чи належать до цього підпростору вектори а) ; b) ; c) ?

4. Визначник

4.1. Функція визначника

Позначимо множину квадратних матриць розмiру через . Надалі використовуватимемо два найрозповсюдженіших позначення визначника (або, ще кажуть, детермiнанта) матрицi :

або ж .

Означення. Визначником -того порядку є функцiя

,

визначена на множинi всiх квадратних -матриць зi значеннями в множинi дiйсних чисел, що задовольняє такі властивостi 1), 2), 3), 4). Позначимо деяку матрицю, що записується як система стовпчикiв у виглядi

Тодi

1. Визначник матрицi не змiнюється, коли до одного його стовпчика додати iнший, помножений на довiльне число:

;

для довiльного числа .

2. При множеннi деякого стовпчика матрицi на деяке число значення визначника множиться на те саме число :

.

3. Якщо матриця має два однаковi стовпчики, то її визначник дорiвнює нулю:

, якщо .

4. Визначник одиничної матрицi дорiвнює одиницi .

Факт. Властивостями 1)–4) функцiя визначається однозначно.

Це означає, що наведених вище чотирьох властивостей цiлком достатньо для того, щоб обчислити визначник довiльної матрицi.

Задачa. Довести, що визначник дiагональної матрицi дорiвнює добутку елементiв, розмiщених на головнiй дiагоналi.

Розв'язок. Для обчислення використаємо властивiсть 2). Перепишемо -тий стовпчик нашої матрицi, як . Використовуючи цю рiвнiсть i властивiсть 2) по черзi до стовпчикiв , одержуємо

,

оскiльки пiд знаком визначника стоїть одинична матриця, а її визначник, згiдно з 4), дорiвнює одиницi.

Далi в пунктах 5)–11) наведемо ще кiлька властивостей детермiнанта, якi спрощують обчислення в конкретних випадках.

5. Якщо всi елементи якого-небудь стовпчика матрицi дорiвнюють то визначник цiєї матрицi теж дорiвнює

Позначивши, як звичайно, нульовий стовпчик через , цю властивiсть можна записати у виглядi

Приклад.

.

6. Якщо в матрицi помiняти мiсцями два стовпчики, то значення визначника при цьому множиться на :

.

7. Якщо два стовпчики деякої матрицi пропорцiйнi, то визначник цiєї матрицi дорiвнює :

.

Має місце таке узагальнення.

Твердження. Визначник матриці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли стовпчики цієї матриці лінійно залежні.

8. Якщо до якогось стовпчика матриці додати лінійну комбінацію інших стовпчиків, то визначник матриці при цьому не зміниться.

9. Якщо у всiх пунктах 1)–8) замiнити слово "стовпчик" на слово "рядок", то твердження залишаться вірними.

Отже, при додаваннi рядкiв та стовпчикiв матрицi визначник не змiнюється, а при множеннi та дiленнi рядкiв та стовпчикiв на число визначник вiдповiдно множиться та дiлиться на це ж число. Це зауваження дає нам змогу використати всi методи та технiчнi прийоми, якi ми використовували в попередніх роздiлах.

10. Визначник верхньої трикутної матрицi дорiвнює добутку елементiв, розмiщених на головнiй дiагоналi.

.

10'. Визначник нижньої трикутної матрицi дорiвнює добутку елементiв, розмiщених на головнiй дiагоналi.

.

Корисним при обчисленні визначників є наступне

Твердження. Визначник добутку двох матриць дорівнює добуткові визначників цих матриць: .

Приклад. Наведемо значення визначників елементарних матриць:

, .