3.6. Розв'язування систем лінійних рівнянь

З матрицею та вектором пов'язують систему лінійних рівнянь

та систему лінійних однорідних рівнянь

.

Твердження. Усi розв'язки однорiдної системи лiнiйних рiвнянь з -матрицею утворюють пiдпростiр векторного простору .

Бiльше того, фундаментальна система розв'язкiв системи утворює деякий базис простору .

Завдання: доведiть це твердження самостiйно.

Твердження. Припустимо, що система лiнiйних рiвнянь з -матрицею є сумiсною i  – деякий її розв'язок. Тодi усi розв'язки системи одержуються у виглядi , де .

Кажуть ще, що розв'язки з одержуються з простору зсувом.

Приклад. Розглянемо систему лiнiйних рiвнянь, що складається з одного рiвняння: , де . Тодi (2 – 1), . Розв'язками системи є всi точки прямої на координатнiй площинi . Ця пряма проходить через початок координат, а отже, є векторним пiдпростором двовимiрного простору . Розв'язками ж системи є точки прямої , яка одержуються з прямої паралельним перенесенням або зсувом.

3.7. Методика розв'язування задач

Задачa 1. Нехай є деяка система векторiв однакової розмiрностi. Знайти ранг системи . Знайти максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему в та виразити всi вектори цiєї системи через максимальну лiнiйно незалежну.

Правило. Запишемо вказанi вектори в стовпчик i складемо з них матрицю . За допомогою елементарних перетворень рядкiв зведемо матрицю до простішого вигляду .

1. Якщо елементарними перетвореннями рядкiв матриця зводиться до вигляду , де і  – це одинична матриця, то система з перших векторів є максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою в системi , ранг системи дорівнює .

2. Крім елементарних перетворень рядків дозволимо ще переставляти стовпчики матриці , при цьому слід запам'ятовувати результат такої перестановки. Якщо за допомогою таких перетворень матриця зводиться до вигляду , де і перші стовпчиків матриці відповідають стовпчикам матриці з порядковими номерами , тоді система з векторів є максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою в системi .

Зауважимо, що в даному випадку символ позначає деяку -матрицю, отже, матрицю можна переписати у вигляді

Тоді для довільного , елементи є коефіцієнтами розкладу векторів за базисом або його координатами, тобто

, .

Приклад. Знайти ранг системи векторів та максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему в системi

.

Розв'язання. Запишемо матрицю системи у вигляді

,

де у рядку над матрицею позначені порядкові номери відповідних векторів системи . Виконаємо елементарні перетворення:

.

Матриця , одержана в результаті перетворень, має вигляд , отже, ранг системи векторів дорівнює , а базис складається з векторів .

Задачa 2. Знайти ранг та базис лінійної оболонки векторів простору .

Правило. Запишемо -матрицю , складену з векторів-стовпчиків: . Зведемо матрицю до канонiчного рядкового вигляду. Тоді кількість сходинок дорівнюватиме рангові матриці та системи векторів , а рядки, в яких знаходяться провідні елементи, відповідають базисним векторам.

Зауваження. Так само можна розглянути -матрицю , складену з векторів-рядків: , звести її до канонічного стовпчикового вигляду і знайти ранг та базис.

Задачa 3. Знайти базис підпростору .

Правило. Запишемо матрицю у вигляді . Тоді довільна максимальна лінійно незалежна підсистема системи векторів буде базисом в .

Зауваження. Довільний базис не обов'язково складається з векторів , але обов'язково з їх лінійних комбінацій.

Приклад. Знайти базис , якщо , причому

, , .

Розв'язання. Запишемо матрицю відображення та виконаємо ряд елементарних перетворень:

.

Отже, система векторів буде одним із базисів підпростору , а вектор має в цьому базисі координати , тобто .

Застереження: Система векторів , одержаних у результаті перетворень, не буде базисом в .

Перевірте, що система векторів також є базисом .