Іі частина (4 бали)

Розв’язання завдань 6 – 7 може мати короткий запис без обґрунтування. Правильне розв’язання кожного завдання оцінюється двома балами.

6. Бічна сторона рівнобічної трапеції з кутом при основі 30^о дорівнює 10 см, а діагональ 25 см. Обчисліть площу трапеції.

7. Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр АD, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.

Ііі частина (3 бали)

Розв’язання 8 завдання повинно мати обґрунтування . Потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення. Правильне розв’язання завдання оцінюється трьома балами.

8. Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.

Варіант 12

І частина (5 балів)

Завдання 1 – 5 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна правильна. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. Правильне розв’язання кожного завдання оцінюється одним балом.

1 . Дано прямокутний паралелепіпед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назвіть переріз паралелепіпеда, який проходить через ребро ВВ₁ і містить діагональ верхньої основи.

А) B₁ВСС₁ ; Б) B₁ВDD₁;

В) B₁ВAA₁ ; Г) не можна визначити.

2. Паралельною проекцією прямокутного трикутника АВС є відрізок А₁В₁, АВС=90°, АС = 6, ВС = 8. Паралельною проекцією точок А і С є точка А₁, а точки В - В₁. Знайдіть довжину проекції медіани СМ.

А) 3; Б) 6; В) 4; Г) 8.

3. Скільки різних площин можна провести через точки А, В і С, якщо АВ = 2 см, ВС = 2 см, АС = 2 см?

А) жодної; Б) дві; В) більше ніж дві; Г) одну.

4 . На мал. 2 зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD. SO  висота. Який кут є кутом між площинами грані SAD і основи АВСD?

А) SAC; Б) SNO;

В) SDB; Г) SCN.

5 . Площина α перетинає відрізок АС у точці В, причому АВ : ВС = 2 : 1 (мал.3). Через точки А і С проведено паралельні прямі, які перетинають площину α у точках А₁ і С₁ відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВА₁, якщо периметр трикутника СВС₁ дорівнює 4.

А) 2; Б) 4;

В) 8; Г) 16.

Іі частина (4 бали)

Розв’язання завдань 6 – 7 може мати короткий запис без обґрунтування. Правильне розв’язання кожного завдання оцінюється двома балами.

6. Дві хорди кола перетинаються. Одна з них ділиться точкою перетину на відрізки 3 см і 12 см, а друга — навпіл. Знайдіть довжину другої хорди.

7. Із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. Їх проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

Ііі частина (3 бали)

Розв’язання 8 завдання повинно мати обґрунтування . Потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення. Правильне розв’язання завдання оцінюється трьома балами.

8. Дві різні площини α і β паралельні до площини γ. Доведіть, що площини α і β паралельні.

Варіант 13

І частина (5 балів)

Завдання 1 – 5 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки одна правильна. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь. Правильне розв’язання кожного завдання оцінюється одним балом.

1 . АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб, пряма l проходить через вершину А₁ і середину ребра DC (мал. 1). Яку із зазначених прямих перетинає пряма l?

А) D₁D; Б) BС;

В) АA₁; Г) АD.

2. Які з тверджень є вірними:

1) пряма, що не лежить у площині трикутника, перетинає дві його сторони;

2) пряма не є паралельною площині на якій є прямі їй паралельні?

А) жодне; Б) перше; В) друге; Г) обидва.

3 . Точка М рівновіддалена від вершин рівностороннього трикутника АВС (мал. 2), МО (АВС). Знайдіть довжину проекції похилої МВ на площину АВС, якщо сторона трикутника см.

А) 8 см; Б) 4 см;

В) 15 см; Г) см.

4. Відрізок АВ не перетинає площину β, А₁В₁ — проекція відрізка АВ на площину β, АА₁ = 4 см, ВВ₁ = 10 см. Знайдіть відстань від середини відрізка АВ до площини β.

А) 14 см; Б) 7 см; В) 6 см; Г) 3 см.

5. Площа трапеції дорівнює 48 см², а кут між площиною її ортогональної проекції і площиною трапеції становить 60°. Знайдіть площу проекції даної трапеції.

А) 96 см²; Б) 18 см²; В) 24 см²; Г) 62 см^2..