2.3. Метод узловых напряжений.
Метод узловых напряжений подобен методу контурных токов. В качестве независимых переменных выбираются узловые напряжения, представляющие собой разность между потенциалом базисного угла и потенциалом анализируемого угла. Через узловые напряжения можно выразить напряжения и токи в любой ветви цепи.
Если принять потенциал базисного угла равным нулю, то напряжение между базисным углом и остальными узлами будет равно потенциалу этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.
Формирование системы уравнений по данному методу основано на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома для участка цепи. Число независимых уравнений в системе равно числу независимых узлов в цепи, т.е. равно q-1. Прежде чем составлять систему уравнений введем основные понятия.
Собственная проводимость узла – это комплексная проводимость ветвей, сходящихся в данном узле. Взаимная или общая проводимость – это комплексная проводимость ветви, соединяющая два описываемых узла.
Узловым источником тока называется алгебраическая сумма токов, создаваемых источниками тока, подсоединенных к данному узлу.
Система уравнений по методу узловых напряжений в общем виде записывается следующим образом:
(25)
где
- узловое напряжение k
узла
- узловой источник
тока k
узла
- собственная
комплексная проводимость k
узла,
- взаимная
комплексная проводимость k
и j
узлов.
Взаимная (общая) проводимость при составлении системы уравнений всегда берется со знаком минус. В составе узлового источника тока, источники тока берутся со знаком плюс, если ток источника втекает в данный узел и минус, если вытекает из данного узла.
Систему уравнений (25) можно записать в матричной форме:
(26)
где - квадратная матрица проводимостей.
=
,
-
матрицы – столбцы узловых напряжений
и узловых токов. Взаимные проводимости
k
и j
узлов равны, т.е.
=
,
следовательно, квадратная матрица
проводимостей симметрична относительно
главной диагонали, имеет порядок q-1.
Способы решения системы уравнений (25) или (26) описаны ранее в методе контурных токов.
В результате решения системы уравнений (25) или (26) получим значения узловых напряжений, по этим значениям определим падение напряжения на ветвях и токи, протекающие в этих ветвях.
Пример анализа цепи данным методом будет подробно рассмотрен в примере расчета домашнего задания.
2.4. Определение тока в одной из ветвей цепи с использованием теоремы об эквивалентном источнике (метод эквивалентного генератора или активного двухполюсника).
В тех случаях, когда требуется определить ток протекающий только в одной ветви, анализ цепи проводят, используя теорему об эквивалентном источнике, которая формулируется следующим образом.
Ток произвольной ветви линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным реальным источником напряжения, э.д.с. которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению пассивной части электрической цепи со стороны зажимов той же разомкнутой ветви при выключенных источниках. Выключенный источник электрической энергии – это такой источник цепи, у которого величина э.д.с. или величина тока принимаются равной нулю.
Согласно этой теореме любая электрическая цепь, в которой определяется ток только одной ветви, может быть заменена реальным эквивалентным источником, нагруженным на данную ветвь. Зная величину внутреннего сопротивления реального источника э.д.с., можем определить ток, протекающий в подключенной к нему ветви:
,
где
- э.д.с. эквивалентного источника;
- комплексное
сопротивление ветви;
- внутреннее
комплексное сопротивление источника.
Величина э.д.с. эквивалентного источника находится согласно теореме, как напряжения холостого хода на зажимах ветви, любым из ранее описанных методов, а внутреннее сопротивление источника определяется как комплексное сопротивление пассивной цепи, то есть цепи при выключенных источниках электрической энергии.
Пример определения тока данным методом будет подробно рассмотрен в примере расчета домашнего задания.