1.2. Топология электрической цепи.

Электрической схемой цепи называется графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, показывающее соединения этих элементов. Электрическая схема показывает последовательность соединений идеализированных активных и пассивных элементов цепи и состоит из узлов, ветвей и контуров.

Узел – место соединения ветвей электрической цепи.

Ветвь – участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток, соединяет между собой узлы цепи.

Контур – это любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Основными законами теории цепей являются закон Ома и законы Кирхгофа.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, выражает зависимость падения напряжения (разности потенциалов) на элементах цепи от величины тока, протекающего по этим элементам

U = I ·R (18)

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, позволяет найти величину тока участка по известной разности потенциалов на концах участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющемся на этом участке ЭДС

I = (φ₁ – φ₂ ± E) / R = (U₁₂ ± E) / R (19)

знак «+» в (19) ставится при совпадении выбранного направления тока с направлением ЭДС и знак «-» при несовпадении направлений.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю

ΣI = 0, (20)

при этом знаки токов берутся с учетом выбранных направлений токов в ветвях.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура

ΣЕ = ΣU (21)

Законы Кирхгофа часто называют законами баланса или равновесия в электрической цепи.

2. Математическая модель электрической цепи.

Математической моделью электрической цепи называется система уравнений, описывающая электрическое равновесие этой цепи. Существует много методов составления системы уравнений для описания электрического равновесия, но основными являются метод контурных токов и узловых напряжений. При необходимости нахождения тока только в одной ветви цепи наибольшее распространение получил метод эквивалентного генератора, в основе которого лежит теорема об эквивалентном источнике.

Основные методы составления системы уравнений не зависят от приложенного воздействия и применимы как для цепей постоянного, так и переменного тока, поэтому изложение методов будем проводить в комплексной форме и в общем виде, конкретизируя в дальнейшем на примерах.

2.1. Метод, основанный на применении законов Кирхгофа для расчета сложных цепей.

Любая разветвленная цепь состоит из узлов, количество которых равно q, и ветвей, количество которых равно p.

Прежде чем начать составлять уравнения, необходимо произвольно задаться положительным направлением токов в ветвях, положительным направлением обхода контура и обозначить эти направления на схеме. Чаще всего за положительное направление обхода контура принимается направление по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа может быть записано q-1 независимых уравнений, представляющих собой уравнения баланса токов в цепи, а узлы, описанные независимыми уравнениями (20), называются независимыми узлами.

По второму закону Кирхгофа может быть составлено p-q-1 независимых уравнений, представляющих собой уравнения баланса напряжений в цепи, а контуры, описанные независимыми уравнениями (21), называются независимыми контурами.

В результате цепь будет описана системой уравнений, количество которых равно q-1+ p-q+1= p, то есть равно числу ветвей схемы.

Решая полученную систему уравнений, определим токи, протекающие во всех ветвях цепи.