§ 3. Некоторые типы функций
Дайте следующие определения.
Функция называется чётной, если __________________________________________
Функция называется нечётной, если ________________________________________
Функция называется периодической, если _____________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Функция называется обратной, если ________________________________________
§ 4. Тригонометрические функции
1. Функции синуса и косинуса.
Нарисуем
окружность единичного радиуса и впишем
в неё прямоугольный треугольник АОВ,
как показано на рисунке. Как известно,
синусом острого угла φ
(обозначается
)
прямоугольного треугольника АОВ
называется отношение
_________________________________________________
_________________________________________________________
В
окружности единичного радиуса значению
будет соответствовать длина отрезка
_______ (показать
его на рисунке, выделив цветом)
Напомним, что
число
Оно
определяется, как __________________________________ ____________________________________
.
Если рассматривать
угол
как переменную, мы получим функцию
синуса или просто синус:
.
График функции
называют синусоидой.
П
остроим
синусоиду в прямоугольной системе
координат
на отрезке [0;2π]. Для этого нарисуем
рядом две координатные плоскости
и
так, чтобы оси абсцисс обоих координатных
плоскостей были на одной линии. Слева,
в прямоугольной системе координат
,
нарисуем единичную окружность с центром
в О. Точками разобьем эту окружность
на девять дуг равной длины. К каждой
точке из центра окружности проведём
радиус и построим синусы полученных
углов
.
Отметим на оси абсцисс второго рисунка
все значения угла
и для этих значений отложим вертикальные
отрезки, соответствующие изображению
синусов на левом рисунке. Чем больше
будем брать углов на левом рисунке, тем
точнее построим график синуса на правом.
Обратите
внимание: для угла х
= 0 радиус окружности лежит на оси t
и длина отрезка, соответствующая синусу,
равна нулю. Аналогично и для угла
.
Аналогичным
образом определяем косинус угла φ,
функцию косинуса
и косинусоиду.
Косинусом
острого угла φ
(обозначается
)
прямоугольного треугольника АОВ
называется отношение
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Если рассматривать угол как переменную, мы получим функцию косинуса или просто косинус: . График функции называют косинусоидой.
В
окружности единичного радиуса значению
косинуса будет соответствовать длина
отрезка ___________ (показать
его на рисунке, выделив цветом).
Задание. Построить косинусоиду, используя длины [OB], получаемые при вращении радиуса [OA] против часовой стрелки. Для удобства построения график можно направить вертикально вниз, а затем скопировать полученный результат:
Таблица основных значений синуса и косинуса (заполнить):
x (рад) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
Свойства |
Область определения |
|
|
Область значений |
|
|
Чётность/нечётность |
|
|
Периодическая с периодом |
|
|
2. Функции тангенса и котангенса.
В
ернёмся
к треугольнику АОВ вписанному в
окружность единичного радиуса. Тангенсом
острого угла φ
(обозначается
)
прямоугольного треугольника АОВ
называется отношение_______________________
_____________________________________________________
.
(записать тангенс через отношения катетов и тригонометрических функций)
Котангенсом
угла φ
(обозначается
)
называется отношение
____________________________________________________
____________________________________________________
Если
рассматривать угол
как переменную, мы получим функцию
тангенса или просто тангенс:
.
Аналогично получим функцию котангенса
или просто котангенс:
.
График функции
получаем, как было описано выше,
откладывая на плоскости
длины отрезков CD.
График функции . График функции (самостоятельно)
Таблица основных значений тангенса и котангенса (заполнить):
x (рад) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства тангенса и котангенса.
|
Свойства |
Свойства |
Область определения |
|
|
Область значений |
|
|
Чётность/нечётность |
|
|
Периодическая с периодом |
|
|
3. Функции секанса и косеканса.
Функцией
секанса (обозначается
)
называется ___________________________________
____________________________________________________________________________
Функцией
косеканса (обозначается
)
называется _______________________________
____________________________________________________________________________
4. Обратные тригонометрические функции.
Графики обратных
тригонометрических функций симметричны
исходным функциям относительно прямой
.
Нарисуем графики этих функций, а затем
воспользуемся рисунками, как подсказками,
и дадим определение обратным
тригонометрическим функциям.
1.
Функция арксинуса
.
Нарисуем
график этой функции, отобразив синусоиду
через прямую
.
Мы нарисовали кривую, симметричную синусоиде. Функция арксинуса .
Теперь, используя определение функции, выделим
на этой кривой функцию арксинуса (то есть, найдём
такой участок полученной кривой, на котором любому
значению х соответсвует только одно значение у).
(показать этот участок цветом).
Теперь, глядя на правый рисунок, дадим определение арксинусу.
Арксинусом
числа х
(обозначается
)
называется такое значение угла y,
для которого
при
и
.
2.
Функция арккосинуса
(самостоятельно)
А
рккосинусом
числа х
(обозначается
)
________________________________________
____________________________________________________________________________
3.
Функция арктангенса
.
Арктангенсом
числа х
(обозначается
)
называется такое значение угла y,
для которого
при
.
Примечание. Несмотря на то, что тангенс – периодическая функция, при построении графика арктангенса нам нужна была только одна кривая тангенса, остальные дали бы семейство кривых, не удовлетворяющее определению функции.
4.
Функция арккотангенса
(самостоятельно)
Арккотангенсом
числа х
(обозначается
)
________________________________________________________________________________________________________________________