Построение линии пересечения поверхностей с помощью посредников - плоскостей частного положения

На рис. 6.2 приведен пример построения линии пересечения конуса с цилиндром.

В качестве посредников использованы:

1. Горизонтальные плоскости ∆(∆v)∑( ∑v).

Эти плоскости пересекают конус по окружностям, а цилиндр по прямым линиям (образующим).

2. Фронтальная плоскость θ(θ_Н). Эта плоскость пересекает поверхности по образующим, которые являются очерковыми на фронтальной проекции.

Характерные точки линии пересечения:

1. На горизонтальной проекции − точки 3 и 4, принадлежащие очерковым образующим цилиндра. Построение этих точек выполнено с помощью посредника ∑(∑_V).

2. На фронтальной проекции − точки 1^| и 2^|, построенные с помощью посредника θ(θ_н).

Построение линии пересечения поверхностей с помощью посредников - сферических поверхностей

Условия для использования сфер в качестве посредников.

1. Обе поверхности должны быть поверхностями вращения.

2. Оси поверхностей должны пересекаться.

3. Оси поверхностей должны быть параллельны плоскостям проекций.

При этих условиях любая поверхность вращения (θ(θ_v) ) на рис.6.3 пересекается со сферой, соосной с ней, по окружностям. При решении использовано то, что указанные окружности на одной из плоскостей проекций изображается прямыми линиями.

На рис.6.3 фронтальная проекция окружности k^´- прямая линия. Она проводится через точки пересечения очерка сферы с очерком поверхности вращения.

Точки линии пересечения являются точками пересечения проекций окружностей, которые изображаются прямыми линиями (рис.6.4).

Центры сферических поверхностей находятся в точке О пересечения осей заданных поверхностей.

Сфера наименьшего радиуса должна касаться большей из заданных поверхностей. Контур сферы максимального радиуса проходит через наиболее удаленную точку пересечения очерков поверхностей.

Рис. 6.4

Проекции окружностей-

линий пересечения сферы-посредника с цилиндром

П ример решения задачи с использованием сферических поверхностей в качестве посредников (рис.6.5)

1΄₂=(a´b´∩c´d´)

Особые случаи пересечения поверхностей. Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка (канонические, цилиндрические, эллипсоиды, гиперболоиды) описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым.

Плоскости кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 6.6)

Следствие. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой. Теорема о форме проекций линии пересечения

Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия пересечения их проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии в виде кривой второго порядка (рис.6.7).

Упражнения

25. Дано: пересекающиеся поверхности.

Построить проекцию линии пересечения поверхностей (рис. 6.8)

а) б)

Задачи:

26. Дано: пересекающиеся поверхности.

Построить проекции линий пересечения поверхностей (рис.6.9, 6.10).