4. Четные, нечетные, периодические функции
Пусть задана
функция
с областью определения
.
Множество называется симметричной относительно начала координат, если из того, что некоторая точка принадлежит множеству следует, что противоположная точка также принадлежит множеству :
.
Функция
называется четной,
если:
1) область определения функции симметрична относительно начала координат;
2) при изменении знака аргумента значение функции не меняется:
.
Простейшим примером четной функции является любой многочлен, состоящий только из четных степеней независимой переменной:
,
где
– произвольные вещественные числа, а
– произвольное целое неотрицательное
число.
Функция называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно начала координат;
2) при изменении знака аргумента меняется только знак функции, а абсолютное значение функции остается тем же:
.
Простейшим примером нечетной функции является любой многочлен, состоящий только из нечетных степеней независимой переменной:
,
где
– произвольные вещественные числа, а
– произвольное натуральное число.
Функция называется периодической, если:
1) найдется такое
число
,
что для любого
из области определения функции точки
и
также принадлежат области определения
функции:
;
2) для любого
из области определения функции выполняется
равенсто
:
.
Каждое такое число
называется периодом
периодической функции
.
Если наименьшее из периодов периодической
функции является положительным числом,
то оно называется основным
периодом
периодической функции.
Все основные
тригонометрические функции являются
периодическими. Основной период функций
и
равен
,
а функций
и
равен
.
Приведем пример периодической функции,
не являющейся периодической.
Пусть
– произвольное вещественное число.
Целой частью
числа
называется наибольшее целое число, не
превосходящее числа
.
Целая часть числа
обозначается
:
и
.
Дробной частью
числа называется разность между самым
числом и его целой частью. Дробная часть
числа
обозначается
:
.
Дробная часть числа является примером периодической функции, не являющейся тригонометрической. Основной период периодической функции равен 1.
Постоянная функция
является примером периодической функции,
не имеющей основной период: Например,
для функции
любое положительное вещественное число
является периодом. Однако неотрицательное
число, меньшее любого положительного
вещественного числа равно нулю, что не
может являться периодом периодической
функции.
5. График функции. Асимптоты
Множество точек плоскости
называется графиком функции . Графиком любой функции является линия (или линии), либо прямая (или отрезки прямой), либо кривая. Любая прямая, параллельная оси ординат, пересекается с графиком функции не более чем в одной точке.
Если график функции неограниченно удаляясь от начала координат, неограниченно приближается к некоторой прямой (не имея общих точек с прямой, пересекаясь с прямой, касаясь прямую), то эта прямая называется асимптотой. Так как любая прямая на плоскости либо параллельна оси ординат, либо оси абсцисс, либо пересекается с обеими осями, то имеются три вида асимптот:
1) вертикальная
асимптота задается уравнением
;
2) горизонтальная
асимптота задается уравнением
;
3) наклонная
асимптота задается уравнением
.
Прямые
и
являются горизонтальной и вертикальной
асимптотами функции
.
