3. Содержание отчета к заданию.

В отчете необходимо предъявить:

• решение задания;

• оценку погрешности численного интегрирования;

• алгоритм решения задания в среде табличного процессора Excel;

• файл, содержащий реализацию использованных методов в среде табличного процессора Excel;

• анализ результатов и выводы.

Пример выполнения задания. Условие.

Используя метод Симпсона вычислить:

При вычислении разбить отрезок интегрирования на 8 частей. Оценить погрешность вычисления по остаточному члену. Вычисления организовать в среде табличного про­цессора Excel.

Получить аналитическое выражение для указанного интеграла и рассчитать его значение. Сравнить точное значение с результатом вычисления методом Симпсона, сделать вывод.

Решение

1. Найдем точное значение интеграла:

Применим формулу интегрирования по частям:

Обозначим u=ln²(x); dv=xdx тогда du=2*(ln(x)/x)dx; v=x²/2, откуда

Применим еще раз формулу интегрирования по частям. Обозначим u=ln(x); dv=xdx тогда du=(1/x)dx; v=x²/2, откуда

I= 2.16290335793361….

2. Вычислим значение интеграла методом Симпсона.

В этом случае приближенное значение интеграла может быть рассчитано по формуле:

, где N=8 – число интервалов, на которое разбивается отрезок интегрирования.

Расчет интеграла проведем в среде табличного процессора Excel (файл “Задание2.xls”).

В столбец A будем заносить значение x (шаг интегрирования ), в столбце B – вычис­лять значение функции .

Ниже приведены формулы и значения, заноси­мые в столбцы A и B.

X	f(x)
2	=A2*(LN(A2))^2
=A2+1/8	=A3*(LN(A3))^2
=A3+1/8	=A4*(LN(A4))^2
=A4+1/8	=A5*(LN(A5))^2
=A5+1/8	=A6*(LN(A6))^2
=A6+1/8	=A7*(LN(A7))^2
=A7+1/8	=A8*(LN(A8))^2
=A8+1/8	=A9*(LN(A9))^2
=A9+1/8	=A10*(LN(A10))^2
Сумма	=B2+B10+2*(B4+B6+B8)+4*(B3+B5+B7+B9)
Интеграл	=B11*1/24

В ячейке B12, таким образом, будет получено значение интеграла.

I*= 2.1629034972…

Погрешность метода – остаточный член оценивается по формуле:

Для оценки погрешности найдем производную четвертого порядка от f(x):

;

Оценивая f^IV на отрезке [2;3], получим |f^IV|<0.12.

Отсюда

3. Выводы.

1) Точное значение . Значение интеграла, полученное методом Симпсона при шаге интегрирования h=1/8, I* 2.1629034972.

2) Согласно оценке остаточного члена это значение не должно отличаться от точного значения более чем на R=2*10^-7.

Истинная погрешность составляет |I*-I| 1.4*10^-7, что согласуется с полученной оценкой.

Тема 3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Теоретические сведения.

1.1. Постановка задачи.

В зависимости от числа независимых переменных дифференциаль­ные уравнения делятся на две группы:

• обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную;

• уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат, кроме независимой переменной, одну или несколько производных от искомой функции у. Их можно записать в виде

F( x, у, у', у", … , у(n) ) = 0, (1)

где x – независимая переменная.

Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной, называется порядком дифференциального уравнения. Например, общий вид дифференциальных уравнений первого и второго порядков

F(x, у, у') = 0

F(x, y, y', y") = 0. (2)

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в любом виде. Например,

y' = f(x, y),

у" = f(x, у, у').

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = (x), которая после подстановки ее в уравнение, превращает его в тождество (верное равенство).

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит и произвольных постоянных С₁, С₂, … , С_N, т.е. общее решение имеет вид:

у = (x, C₁, C₂, … , C_N).

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной касательной

у =  (x, С).

Если постоянная принимает определенное значение C = С₀, то получим частное решение

у =  (x, С₀).

Исходя из геометрической интерпретации общего решения дифференциального уравнения первого порядка и из теоремы Коши имеем, что для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (x₀, у₀) произвольной точки на данной интегральной кривой.

Для дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два дополнительных условия, благодаря которым можно найти значения двух произвольных постоянных.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существует два различных типа задач:

задача Коши;

краевая задача.

Дополнительные условия в задаче Коши задаются в одной точке x = x₀ и называются начальными условиями, а точка, в которой они задаются – начальной точкой.

Дополнительные условия для краевой задачи задаются в более или одной точке, обычно в двух точках x = а и x = b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения, и называются граничными (краевыми) условиями.