1) Таким образом, методом Ньютона и методом хорд было получено численное решение уравнения: .

С точностью значение корня x= 0.930648, ( |F(x)|<10^-7).

2) Значения корня, полученные методом Ньютона и методом деления отрезка по­полам, совпадают для заданной точности.

3) Для достижения заданной точности определения корня метод Ньютона требует существенно меньшего числа шагов, чем метод деления отрезка пополам.

Тема 2. Численное интегрирование функций.

1. Теоретические сведения.

1.1 Постановка задачи.

Задача численного интегрирования заключается в вычислении посредством ряда значений подынтегральной функции y=f(x).

Численные методы можно условно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона- Котеса основаны на аппроксимации функции f(x) полиномом степени n. Алгоритмы этого класса отличаются только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирования полинома – равноотстоящие.

Методы сплайн- интегрирования базируются на аппроксимации функции f(x) сплайном – кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используют специально выбранные не равноотстоящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используют чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n – числа разбиений отрезка [a;b]. Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины h частичного отрезка.

Чаще всего используют квадратурные формулы, в которых используются значения подынтегральной функции в отдельных точках отрезка интегрирования, т.е. формулы вида

. (1)

Сумму в правой части называют квадратурной суммой, действительные числа x_k и A_k соответственно узлами и коэффициентами квадратурной формулы. Будем считать, что узлы квадратурной формулы (5.2) пронумерованы в порядке возрастания x₁<x₂<...<x_n.

Равенство (1) приближенное. Разницу между определенным интегралом и квадратурной суммой

, (2)

называют остаточным членом, или погрешностью квадратурной формулы (1).

1.2 Формула прямоугольников.

Приближенное значение интеграла , где f непрерывна на [x₀; x₀+h] можно найти, если функцию заменить интерполяционным многочленом нулевой степени, т.е. для всех x[x₀; x₀+h] положить f(x)=f(c), где c[x₀; x₀+h]. Тогда получим приближенное равенство

. (3)

Если f(x)0 непрерывна на [x₀;x₀+h] , то приближенное равенство можно толковать геометрически так: за приближенное значение криволинейной трапеции ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком функции, а по бокам прямыми и, берется значение площади прямоугольника. Если c=x₀ или c=x₀+h, или , то (3) называют соответственно формулой левых или правых, или средних прямоугольников.

Если непрерывная функция f задана на большом промежутке [a; b], а желательно вычислить с большей точностью, то отрезок [a; b] делят на n равных отрезков длиной h=(b-a)/n, точками: a=x₀<x₁ < x₂ < …< x_k < x_r+1<…< x_n=b.

И к каждому из отрезков [x_k; x_k+1] (k=0,1,…,n-1) применяют формулу (3)

Получают

, (4)

где с- произвольная точка из отрезка [x₀;x₁].

Положив в (3) с=а; с=а+h, с=а+1/2h, можно вывести обобщенные формулы соответственно левых, правых и средних прямоугольников.

Остаточный член для метода средних прямоугольников запишется в виде:

. (5)