1.6 Метод хорд.
Метод хорд — один из распространенных итерационных методов. Его еще называют методом линейного интерполирования, методом пропорциональных частей.
Идея метода хорд в том, что на достаточно малом отрезке дуга кривой у=f (x) заменяется хордой и абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox является приближенным значением корня.
Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона.
Пусть для определенности f' (х)>0, f''(x)>0, f(а)<0, f(b)>0 (рис. 3, а). Возьмем за начальное приближение искомого корня х* значения х0=а. Через точки а0 и В проведем хорду и за первое приближение корня х* возьмем абсциссу x1 точки пересечения хорды с осью ОХ. Теперь приближенное значение х1 корня можно уточнить если применить метод хорд на отрезке [х1; b]. Абсцисса х2 точки пересечения хорды А1В будет другим приближением корня. Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х0, х1, х2,..., хk,... приближенных значений корня х* данного уравнения.
Таким образом метод хорд можно записать так:
,
k=0, 1.2, …, (8)
В общем случае неподвижным будет тот конец отрезка изолированного корня, в которой знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной, а за начальное приближение x0 можно взять точку отрезка [а; b], в которой f(x0)f'’(x0) < 0.
Например, когда f (a)>0, f (b)<0, f'(х)<0, f"(х)<0 (рис. .3, б) конец b отрезка [а; b] является неподвижным.
Если f (а)>0, f(b)<0, f'(х)<0, f"(x)>0 (рис.3, в), или f(а)<0, f(b)>0, f’(х)>0, f'’(x)<0 (рис. 3, г), точка а является неподвижным концом отрезка [а; b].
Достаточные условия сходимости метода хорд дает такая теорема.
Рисунок 3. – Геометрическая интерпретация метода хорд
Теорема. Пусть на отрезке [а; b] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)f(b)<0, а производные f' (x) и f" (х) сохраняют свои знаки на [а; b], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f(x)=0, что для любого начального приближения х0 этой окружности последовательность {хk}, вычисленная по формуле (8), сходится к корню х*.
2. Задание для выполнения контрольной работы.
Варианты заданий представлены в таблице 1.
1. Отделить корни заданного уравнения f(х)=0 одним из методов: графическим, аналитическим или методом последовательного перебора.
2. Уточнить один из отделенных корней уравнения двумя, указанными в табл. 1, методами с точностью =0.510-3 и =0.510-6. При реализации методов использовать табличный процессор Excel.
3. Сравнить использованные методы между собою по количеству итераций, необходимых для нахождения корня с заданной точностью.
Пояснения к выполнению работы. Выполняя п. 1 задания, отрезок изоляции корня желательно сузить до длины, которая не превышает единицы.
При уточнении изолированного корня методом простой итерации приведенное в табл. 1 уравнение необходимо привести к виду х=(х), где функция (x) на отрезке изоляции корня должна удовлетворять условию |’ (x)|< 1.
Перед тем как пользоваться методами хорд, касательных и комбинированным, необходимо проверить выполнение достаточных условий сходимости соответствующего метода.
Таблица 1 - варианты заданий
Вариант |
Уравнение |
Метод |
1 |
2 |
3 |
1 |
2x+5x – 3=0 |
дихотомии, Ньютона |
2 |
x3 – 3x2+6x+3=0 |
дихотомии, Ньютона |
3 |
x3 – 3x2+2.5=0 |
дихотомии, Ньютона |
4 |
x2+4sin(x)=0 |
дихотомии, Ньютона |
5 |
sin(x) – x – ln(1+x)+1=0 |
дихотомии, Ньютона |
6 |
x3 – 3x2 – 3.5=0 |
дихотомии, Ньютона |
7 |
x2 – 20sin(x)=0 |
дихотомии, Ньютона |
8 |
2x3+9x2 – 4=0 |
дихотомии, Ньютона |
9 |
x – cos(x2) – 3 =0 |
дихотомии, Ньютона |
10 |
2ex+2x – 3=0 |
дихотомии, Ньютона |
11 |
2 – x – ln (x)=0 |
итерации, хорд |
12 |
x2 – ln (1+x) – 3=0 |
итерации, хорд |
13 |
ln(1.5x) – 1.7x+3=0 |
итерации, хорд |
14 |
|
итерации, хорд |
15 |
|
итерации, хорд |
16 |
x – (3+sin (3.6 x))-1=0 |
итерации, хорд |
17 |
|
итерации, хорд |
18 |
x3 – 3x2+9x+2 =0 |
итерации, хорд |
19 |
x3 – sin(x)=0 |
итерации, хорд |
20 |
x3 – 0.1 x2+0.4 x – 1.5=0 |
итерации, хорд |
21 |
ctg (x) – 0.5x=0 |
Ньютона, хорд |
22 |
x2 – cos (x)=0 |
Ньютона, хорд |
23 |
2x3 – 3x2 – 12x+12=0 |
Ньютона, хорд |
24 |
3x+5x – 2=0 |
Ньютона, хорд |
25 |
(x – 3)cos (x) – 1=0 |
Ньютона, хорд |
26 |
2sin (x – 0.6)+x – 1.5=0 |
Ньютона, хорд |
27 |
x3+4x – 6=0 |
Ньютона, хорд |
28 |
x3 – 3x2 – 24x – 5=0 |
Ньютона, хорд |
29 |
2x(x – 2) 2 – 1=0 |
Ньютона, хорд |
30 |
2xsin(x) – cos(x)=0 |
Ньютона, хорд |
