3. Содержание отчета к заданию.

В отчете необходимо предъявить:

• алгоритм решения задания в среде табличного процессора Excel, реализующий вычислительную схему каждого из методов;

• файл, содержащий реализацию использованных методов в среде табличного процессора Excel;

• анализ результатов и выводы.

Пример выполнения задания. Условие.

Используя модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта IV порядка построить численное решение дифференциального уравнения: при заданных начальных условиях:y(0.7)= 2.1 на отрезке [0.7;1.7].

Расчеты провести в среде табличного про­цессора Excel с шагом h=0.1 и h=0.01. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками после запятой.

Сравнить результаты вычисления различных методов с различными шагами интегрирования.

Решение.

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом второго порядка, реализуется следующими формулами

y_n+1 = y_n + hf(x_n + h/2, у*_(n+1/2))

у*_(n+1/2) = у_n +hf(x_n, y_n)/2.

где n – номер шага, x_n+1 = x_n +h.

Расчеты проведем в среде табличного процессора Excel(файл“Задание3.xls”,лист1).

В столбец A будем заносить значение x ( ), в столбце B – вычис­лять значение функции . Ниже приведены формулы и значения, заноси­мые в столбцы.

	A	B
1	X	Y
2	0.7	1.2
3	=A2+0.1	=B2+(A2+0.1/2+COS((B2+0.1/2*(A2+COS(B2/КОРЕНЬ(0.3))))/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1
4	=A3+0.1	=B3+(A3+0.1/2+COS((B3+0.1/2*(A3+COS(B3/КОРЕНЬ(0.3))))/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1

и т.д.

При этом получим y*(1.7)  2.80713.

Аналогичные расчеты проведем для шага интегрирования . При этом значения x будем заносить в столбец D, в столбце E – вычис­лять значение функции.

В этом случае получим y*(1.7)  2.81664.

Решения отличаются на .

2. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта IV порядка.

Метод Рунге-Кутта – одношаговый метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, на котором построены разностные схемы разного порядка точности.

В методе Рунге-Кутта IV порядка:

y_n+1 = у_n +1/6(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄),

k₁ = hf(x_n, y_n), k₂ = hf(x_n + h/2, y_n + k₁/2),

k₃ = hf(x_n + h/2, y_n + k₂/2), k₄ = hf(x_n + h, y_n + k₃).

Расчет интеграла проведем в среде табличного процессора Excel (файл “ Задание3.xls”, лист “Рунге-КуттIV”).

Ниже приведены формулы и значения, заноси­мые в столбцы A — G.

	A	B	C	D	E	F
1	x	y	f(x)	k1	k2	k3
2	0.7	2.1	=(A2+COS(B2/КОРЕНЬ(0.3)))
3	=A2+0.1	=B2+(D3+2*E3+2*F3+G3)/6	=(A3+COS(B3/КОРЕНЬ(0.3)))	=0.1*C2	=(A2+0.1/2+COS((B2+D3/2)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1	=(A2+0.1/2+COS((B2+E3/2)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1
4	=A3+0.1	=B3+(D4+2*E4+2*F4+G4)/6	=(A4+COS(B4/КОРЕНЬ(0.3)))	=0.1*C3	=(A3+0.1/2+COS((B3+D4/2)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1	=(A3+0.1/2+COS((B3+E4/2)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1

k4

=(A2+0.1+COS((B2+F3)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1

=(A3+0.1+COS((B3+F4)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1

=(A4+0.1+COS((B4+F5)/КОРЕНЬ(0.3)))*0.1

и т.д.

При этом получим y*(1.7)  2.8167474.

Аналогичные расчеты проведем для шага интегрирования . При этом значения будем заносить в столбцы J – P.

В этом случае получим y*(1.7)  2.8167553.

Решения отличаются на .