Глава 3. §3.1 Интегральные операторы в квантовой механике.

Оператор в - представлении .

В общем случае

Здесь - ядро интегрального оператора в координатном представлении.

Задача на собственные функции и собственные значения

Здесь и изменяются непрерывно.

Разложение функции по базису :

,

где

Тогда

и аналогично

Для того чтобы найти ядро интегрального оператора, разложим - функцию по базису собственных функций из задачи на собственные функции и собственные значения.

={т. к. оператор от q , а интеграл по f, то ставим оператор под знак интеграла} {из задачи на собственные функции и собственные значения }= .

Поменяем порядок интегрирования

Ядро интегрального оператора

Оператору поставили в соответствие ядро . Тогда можно записать действие оператора на любую функцию, решив задачу на собственные функции и собственные значения.

Пусть есть эрмитов оператор

.

Тогда

А в силу равенства имеем

Найдем ядро оператора в координатном представлении. Действие в этом представлении сводится к умножению на .

Мы знаем, что по определению -функции:

Тогда

Ядро оператора координат в координатном представлении

Ядро оператора в -представлении, тогда имеет вид

§3.2 Интегральный оператор канонического преобразования.

Можно решать задачу в разных представлениях. Преобразование, осуществляющее замену переменных, в которых рассматривается задача, называется каноническим преобразованием.

Запишем:

(*)

(**)

Сравним эти равенства с:

Тогда можно рассматривать как ядро некоторого интегрального преобразования, переводящего - представление в -представление.

Обозначим

,

где

Собственная функция оператора в -представлении играет роль ядра интегрального оператора , осуществляющего преобразование от к .

Аналогично

Из соотношения (*) следует, что для того чтобы говорить о функции надо знать коэффициенты разложения . Т. е. зная можем записать :

Чтобы знать коэффициенты надо знать - это следует из (**)

Тогда задать состояние мы можем либо функцией , либо функцией . Эту информацию мы задаем в разложении переменных.

Оператор осуществляет переход от переменных к переменным:

.

Это есть каноническое преобразование переменных.

Установим связь между и :

,

,

подставим одно в другое

,

тогда

(***)

Д.З. записать это равенство на языке ядер.

Распишем:

также

Этому соответствует соотношение операторов

Из (***) следует , тогда

,

отсюда

получили, что оператор унитарный.

Рассмотрим норму функции и обнаружим унитарность:

{используем равенство Парсеваля} ,

тогда , .

Равенство Парсеваля:

.

Мы знаем, что ядро оператора

,

есть собственная функция оператора в - представлении.

Тогда ядро оператора :

,

есть собственная функция оператора в -представлении.

Но

.

Задачи на собственные функции и собственные значения имеют вид:

,

.

-собственная функция оператора в -представлении есть комплексно сопряженная собственная функция оператора в - представлении.

Отсюда запишем: