§20 Операторы рождения и уничтожения в задаче о лго (линейном гармоническом осцилляторе).
Введем оператор
следующим
образом:
В силу эрмитовости
оператора
,
найдем сопряженный этому оператору:
и
:
и
Посмотрим, как
действуют операторы
и
на
:
Из (15):
(15’)
Из (15’) и (14) мы получаем:
(16)
Сами операторы
и
на
себе нагрузки не несут. Но их можно
интерпретировать как операторы рождения
и уничтожения, т.е. имеется ансамбль
одинаковых частиц с энергией
,
и можно осуществить переход между
эквивалентными энергиями. Потому переход
частицы на нижний уровень мы интерпретируем
как уничтожение частицы с энергией ,
а переход частицы на верхний уровень
мы интерпретируем как рождение частицы
с квантом .
-
оператор уничтожения частицы с квантом
на
данном энергетическом уровне.
- оператор рождения частицы с квантом на данном энергетическом уровне.
§21 Свойства оператора рождения и уничтожения.
Мы введем оператор
Это вид в координатном
представлении.
Действие на
:
(1*)
в силу этого отношения, - оператор уничтожения.
Мы ввели понятие
числа частиц n, c
квантом 
,
которые характеризуют состояние
осциллятора
.
Это состояние мы интерпретируем как n
частиц с квантом .
,
тогда матричный элемент оператора
уничтожения:
это различные модификации матричного
элемента
,
т.к. n=n1-1
это тоже самое, что и n+1=n1.
Наряду с этим,
мы введем сопряженный
оператор:
его вид в координатном представлении
Действие этого
оператора на волновую функцию
:
(2*)
И матричный элемент этого оператора имеет вид:
Это разные модификации
этого матричного элемента.
Очевидно, что
можно получить из
:
,
т.к.
- сопряженный к
.
В силу вещественности имеем:
Р
ассмотрим
коммутационные соотношения операторов
и
:
эта часть есть
оператор
;
т.е.
,
где
- единичный оператор.
Рассмотрим
,
он равен
Н
айдем
коммутатор:
получим единичный оператор.
Выразим оператор
через рождения и уничтожения:
симметризуя,
получаем:
,
чаще используют
Найдем собственные
значения для
и
,
найдем их в матричной форме.
,
тогда
Аналогично:
-
посмотрим на этот матричный элемент. n
– это число частиц с квантом
.
Поэтому оператор
- это оператор числа частиц:
.
Тогда
Посмотрим на соотношение (1*).
Подействуем:
- т.е. состояние
соответствует нулю частиц, это состояние
вакуума или основное состояние.
Подействуем
(2*):
Подействуем
на
:
и т.д.:
этим
соотношением
устанавливается связь между
и
,
тогда имеем
Достаточно найти , и тогда сможем найти все остальные функции .