§19 Энергетическое представление в случае дискретного спектра: методы Шредингера и Гайзенберга.

У нас имеется волновое уравнение для - функции:

, где .

- функция динамических переменных и времени .

Мы ввели оператор эволюции, который связывает две волновые функции в разный момент времени:

т.к. нормировка сохраняется во времени, то – унитарный оператор

.

Для оператора – уравнение:

Рассмотрим случай стационарной задачи , тогда в этом случае:

Положим , тогда вводятся 2 метода:

1 - Шредингера: временная зависимость или эволюция описывается через волновую функцию.

2 - Гайзенберга: эволюция системы описывается через временную зависимость

оператора, или соответствующего уравнения движения для оператора.

Будем писать:

– для 1

– для 2

П ричём – связь волновых функций в этих 2-ч методах.

Через оператор эволюции (некоторое унитарное преобразование)

И обратное ему преобразование: .

и

Запишем уравнение движения для оператора :

-это для представления Гайзенберга, причём , т.к. .

Тогда уравнение - идёт к - описанию.

- идёт к - описанию.

Представления Шредингера и Гайзенберга равнозначны.

Мы рассмотрим методы Шредингера и Гайзенберга в случае энергетического

представления ( в случае дискретного спектра).

Чаще используется метод Шредингера, но мы рассмотрим оба метода.

Мы переходим к энергетическому представлению, это значит, что мы переходим

от функций переменных к функциям переменных (так как спектр

дискретный ) .

Напомним полученные формулы:

Для Шредингера: - временная зависимость заключена в волновой функции, а оператор таков, что .

Для Гайзенберга – временная зависимость переносится с функции на оператор:

.

Уравнение функции движения для оператора:

,

которое в частном случае переходит в коммутатор при

Мы рассматриваем Энергетическое представление, т.е. одной из динамических

переменных выбрана энергия:

где

Вообще переход от к можно рассматривать как каноническое преобразование: .

А произвольный оператор в другое представление переходит через преобразование .

Для дискретного случая ядро переходит в - матричный

элемент. По определению матричного элемента

Используем в энергетическом представлении представления и .

Запишем матричный элемент оператора :

={ – собственная функция оператора }=

= - матрица энергий диагональная в собственном представлении.

Тогда уравнение Шредингера в методе Шредингера:

Вместе с здесь

ещё другие

динамические

переменные

Получили уравнение Шредингера в методе , в энергетическом представлении.

Если задача стационарная, то от времени и получаем

Рассмотрим метод Гайзенберга, здесь используется оператор эволюции :

Это соотношение переходит в случае дискретного энергетического спектра:

, (1)

где , при .

Если рассмотреть , и матричный элемент тогда имеет вид:

- диагональный вид.

Тогда (1) перепишется:

.

Т.е. - получим связь через оператор эволюции.

Рассмотрим матричные элементы:

( ** )

Найдём ={в силу симметрии оператора }=

( * )

Подставим (*) в (**)

при суммировании

– это матричный элемент в представлении Гайзенберга.

Введём , тогда матричный элемент в представлении Гайзенберга

Получим производную от матричного элемента: