§17 Уравнение Шредингера в матричной форме.
Уравнение Шредингера:
переходит в следующее:
,
- матричные элементы оператора
энергий.
Здесь существует нюанс: оператор
в энергетическом представлении должен
быть стационарным, т.е.
,
и
тогда удается решить задачу
, (*)
иначе эта задача имеет сложное решение,
т.к. там уже
.
Решая (*), имеем
.
Очень часто рассматривается представление, в котором энергия диагональна и рассматривается переход от Шредингеровского к Гайзенберговскому описанию. Т.е. у операторов есть временная зависимость и еще мы рассматриваем энергетическое представление, т.е.
.
- переносит временную зависимость на оператор.
- переводит к энергетическому представлению.
Здесь действует фактически один оператор:
.
Тогда оператор
.
,
т.к. операторы и действуют на различные переменные, то они коммутативны, т.е.
,
тогда
,
.
Но мы знаем, что оператор
сводится к матрице
{оператор
(для стационарных
:
)}=
{
;
,
т.к.
- унитарный оператор, тогда
}=
=
{вводится
частота
}=
.
Тогда в энергетическом представлении:
Мы получили заготовку для решения задачи о линейном гармоническом осцилляторе.
Для представления Гайзенберга справедливо соотношение:
Уравнение движения
.
Это некое уравнение движения.
Рассмотрим
.
§18 Энергетическое представление в случае дискретного спектра: волновая функция, оператор и их свойства.
Напомним некоторые результаты из теории представлений.
Рассмотрим
волновую функцию
=
и разложим эту функцию в интеграл по
собственным функциям оператора
=
;
-
ЗШП для
где
-
эти функции удовлетворяют условию
нормировки:
Перепишем интеграл:
=
=
т.е. собственную
функцию оператора
в
представлении
обозначили:
тогда получаем:
=
{ некоторое интегральное соотношение,
которое
можно записать как действие
оператора
на
функцию в других переменных}
=
Это некоторое
каноническое преобразование, которое
осуществляется с помощью оператора
с ядром
.
Имеем
преобразование вида
Переменные
и
указаны в ядре оператора
и оператор
– унитарный, он не нарушает правила
нормировки.
Определение
унитарного оператора
:
.
Существует
обратное преобразование:
Функция
–
это функция в
–
представлении
Как коэффициент
разложения
в интеграл, она получается:
И дальше будем
писать
,
чтобы подчеркнуть, что
–
это не столько коэффициент разложения,
сколько функция
,
а
–
это её аргумент.
Как всё это скажется на произвольном операторе?
-
это оператор, действующий в
представлении
-
получили новую функцию в тех же переменных.
Запишем это в форме ядра:
C
другой стороны,
можем разложить по базисным функциям,
которые использовали вначале:
Коэффициенты
разложения определяются:
,
подставим сюда
,
тогда:
т.е.
,
где
Используя,
что
и ещё
вводится
обозначение:
тогда
Тогда получим:
здесь всё в здесь функция в координатном пред-
q - представлении ставлении, а ядро оператора и интег-
рирование идёт по переменным
другого представления.
Посмотрим, как оператор действует в – представлении.
Во-первых:
,
это в операторной форме,
перепишем это равенство в ядерной форме:
интегрирование
идёт по
=
тем переменным,
которых
нет в левой части равенства
т.к.
,
то ядро
т.к.
,
то ядро
Легко показать, что ядро
это
есть результат действия это
всё функция от
оператора
на функцию
Запишем результат действия оператора на некоторую функцию в - представлении:
,
но
,
тогда мы получили
(1)
А
раньше мы получали
(2)
Здесь стоят
матричные элементы вида
,
но у них
различный порядок следования
и
:
и
.
Распространим наше рассмотрение на дискретный спектр:
Пусть
– оператор с единичным спектром.
Здесь условие
нормировки не на
-
функцию, а на единичный тензор:
.
Во всех
полученных выше формулах заменяем:
.
И обозначаем:
Скалярное
произведение
.
Часто пишут
с тем, чтобы показать, что это матричный
элемент.
-это
матрица с бесконечным числом строк
и столбцов.
Имеем:
(3)
по аналогии с (1)
(4)
по аналогии с (2)
Перенесём всё полученное выше на энергетическое представление:
Рассмотрим
оператор
,
который обладает дискретным спектром,
т.е.
,
таким образом, переходим от
представления к
-
представлению (или энергетическому
представлению).
Условие
нормировки:
–
это условие квадратичной интегрируемости
–
функций.
Коэффициенты
разложения
,
где
– это волновая функция в
энергетическом представлении.
Ядро любого оператора в энергетическом представлении переходит в матричный элемент:
,
где
-
это конкретные собственные функции
оператора
.
Найдём матричный элемент оператора в энергетическом представлении:
{используем
решение ЗШП:
}
=
,
где
-
это собственное значение оператора
из ЗШП.
Матрица оператора диагональна в энергетическом представлении.
Соотношения (3) и (4) переносятся в представление без изменений.