Часть II. Методы математической физики.

Введение.

Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в случае двух переменных и приведение уравнений к каноническому виду. Случай многих переменных.

[1] Гл. 2, §§ 1-3, стр. 43-51.

[2] Гл. 1, § 1.

Физические задачи, приводящие к уравнениям различных типов.

Постановка дополнительных условий. Граничные условия Дирихле, Неймана и Робена.

[1] Гл. 1, §§ 1-3, стр. 11-42.

Задача Коши, начально-краевая задача, общая задача Коши, задача Гурса, задача Стефана (постановки задач). Постановки внутренних и внешних задач.

[1] Гл. 1, стр. 15-19, 38, 41, гл. 7, §10, стр. 353, §11. стр. 358-359, гл. 3, § 1, стр. 53-56.

Замкнутые и полные системы функций. Понятие о пространствах Лебега и Соболева. Классические и обобщённые решения.

[1] Гл. 3, § 3, стр. 57-59.

Метод разделения переменных (метод Фурье).

[1] Гл. 3, §§ 4-6, стр. 59-69.

Глава I. Уравнения эллиптического типа.

Гармонические функции. Вспомогательные сведения из анализа: обобщённые функции. Первая, вторая и третья формулы Грина. Фундаментальные решения. Уравнение Лапласа. Свойства гармонических функций: теорема Гаусса, формула среднего значения, существование производных любого порядка, принцип максимума, принцип сравнения.

[1] Гл. 3, § 2, стр. 56-57, гл. 5, § 1, стр. 154-168.

[2] Гл. 4, § 2.

Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле. Вторая и третья краевые задачи. Понятие обобщённого решения. Обобщённая постановка задачи Дирихле.

[1] Гл. 5, § 2, стр. 168-172.

[2] Гл. 4, § 2.

Внешние краевые задачи. Условия на бесконечности. Необходимость их постановки для обеспечения единственности решения внешних краевых задач. Различный вид условий на бесконечности в двумерном и трёхмерном случаях. Условие регулярности функции на бесконечности в двумерном и трёхмерном случаях. Достаточные условия регулярности гармонической функции на бесконечности в двумерном и трёхмерном случаях. Постановка внешних краевых задач. Формулы Грина во внешней области.

[1] Гл. 5, § 3, стр. 172-180.

[2] Гл.4, § 2.

Функция Грина для внутренней задачи Дирихле. Её свойства: удовлетворение внутренней задаче Дирихле в обобщённом смысле, двусторонняя оценка, симметрия, физический смысл. Метод функции Грина построения решения внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа.

[1] Гл. 5, § 4, стр. 180-184, 194-196.

[2] Гл. 4, § 4.

Функции Грина для внутренних краевых задач Неймана и Робена и построение решений с их помощью. Функции Грина для внешних краевых задач.

[1] Гл. 5, § 4, стр. 184-189.

[2] Гл. 4, § 4.

Примеры построения функции Грина: методом электростатических отображений, методом конформных отображений (в двумерном случае).

[1] Гл. 5, §4, стр. 190-194.

[2] Гл. 4, § 4.

Теория потенциала. Объёмный потенциал, его свойства. Сведение с помощью объёмного потенциала задачи для неоднородного уравнения к задаче для однородного уравнения.

[1] Гл. 5, § 6, стр. 203-204.

[2] Гл. 4, § 5.

Поверхностные и логарифмические потенциалы простого и двойного слоя. Понятие поверхности Ляпунова.

[1] Гл. 5, § 6, стр. 206-209, стр. 211-212.

[2] Гл. 4, § 5

Понятие сходимости и равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Непрерывность по параметру равномерно сходящегося несобственного интеграла.

[1] Гл. 5, § 6, стр. 204-206.

[2] Гл. 4, § 5

Непрерывность потенциала простого слоя. Существование потенциала двойного слоя и его разрыв при переходе через несущую поверхность. Разрыв нормальных производных потенциала простого слоя при переходе через несущую поверхность.

[1] Гл. 5, § 6, стр. 209-210, 213-220.

[2] Гл. 4, § 5

Сведение внешних и внутренних краевых задач Дирихле и Неймана для

уравнения Лапласа к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода со слабополярным ядром. Существование решений внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

[1] Гл. 5, § 6, стр. 220-234.

[2] Гл. 4, § 5

Уравнение ∆u+сu=0. Физические задачи, приводящие к данному уравнению. Фундаментальные решения. Внутренние краевые задачи для уравнения ∆u+cu=0. Принцип максимума при с<0. Единственность решения внутренней краевой задачи Дирихле при с<0. Случай с>0. Формулы Грина, метод функций Грина и метод интегральных уравнений для краевых задач с оператором ∆u+cu.

[1] Гл. 8, §§ 2-4

[2] Гл. 7 §§ 1-2

Внешние краевые задачи для уравнения ∆u+cu=0 при с<0. Постановка краевых задач и их решение.

[1] Гл. 8, § 5, стр. 398-399.

[2] Гл. 7 § 3

Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа. Свойства собственных функций и собственных значений.

[1] Гл. 8, § 1, стр. 377-385.