2.2. Решение задач на оптимизацию методами дифференциального исчисления

Мыслить – это значит говорить с самим собой, слышать себя самого. И. Кант.

Когда преподаватель говорит: «Запишите», то результат виден, если же скажет: «Подумайте!», то как надо понимать этот совет? Какие конкретно действия следует предпринять? Сдвинуть брови, наморщить лоб, сосредоточенно смотреть в одну точку, пытаясь там мысль схватить за хвост? Нет? А что?

На самом деле думать очень просто – надо просто задавать себе один за другим вопросы и пытаться на них ответить. И не в том сложность, что надо найти ответ, а в том, какой вопрос задать в этот момент в этом месте! Рассказывают, что как- будто бы Эйнштейн однажды высказался так: «Если бы у меня оставался один час до смерти, то я 55 минут думал бы над тем, какой задать вопрос, а ответ я найду за 5 минут». Насколько был прав ученый - поразмышляйте сами на досуге.

Как найти тот первый вопрос – зацепку? Один древнейший и мудрейший человек сказал: «Умный начинает решать задачу с конца, а глупец заканчивает в начале».

Итак, с конца, с того, что надо доказать, вычислить и т.д. Так возникает алгоритм решения проблемы: проанализировать, составить систему вопросов и, наконец, план решения.

Для того, чтобы было А надо, чтобы было В. Чтобы было В, надо, чтобы выполнялось С. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. Чтобы найти М, надо вычислить Р. Следовательно, план решения задачи должен быть таким: Вычислить Р Найти М - - - - - - - Найти искомое А.

В опросы для самоконтроля:

1. Как найти производную?

2. Какие точки называются критическими?

3. Что значит – исследовать функцию на монотонность?

4. Сформулируйте условие монотонности функции

5. Что значит – исследовать функцию на экстремумы?

6. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума

7. Что называется второй производной?

8. Какие точки называются точками перегиба?

9. Какой экономический смысл имеют первая производная? вторая?

10. Назовите основные пункты общей схемы исследования функции с помощью производной.

Дифференцирование функций.

Мы продолжаем заниматься одной из важных задач - задачей на оптимизацию. (Вспомните, что значит – оптимизировать функцию)

Решать задачи на оптимизацию можно по-разному, (вспомните как? например) и, в частности, методами дифференциального исчисления.

История возникновения и развития теории дифференциального исчисления непроста. Было много научных споров дискуссий, прежде, чем она предстала перед нами в современном виде. Можно назвать много имен, но принято считать, что в систематической форме дифференциальное исчисление впервые изложено по-разному и в разное время , независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем. Вставить!

Автором первого курса по дифференциальному исчислению был представитель школы Лейбница французский математик маркиз Гильом Франсуа Лопиталь (1661-1704).

Современной трактовке дифференциального исчисления положил начало Огюстен Луи Коши.

Термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста в его книге «Вычисление производных» в 1800 году.

Обозначения у′ и f′(x) для производной ввел Жозеф Луи Лагранж

Некоторые сведения из теории дифференциального исчисления вам известны по предыдущему курсу математики. В этом пособии приведены отдельные формулы, теоремы и приводятся дополнительные теоретические сведения, которые позволяют решать практические задачи.

В основе дифференциального исчисления лежит понятие производной функции. Именно производная позволяет быстро, эффективно и эффектно решать многие практические задачи,

поэтому необходимо уметь быстро и правильно её находить .

Действие нахождения производной называется дифференцированием функции.

Продифференцировать функцию (найти ее производную) можно, используя:

а) Таблицу производных:

f(x)

C

x

xn

sin x

cos x

tg x

ax

ex

loga x

f`(x)

0

1

nxn-1

cos x

- sin x

ax*lna

ex

б) Правила дифференцирования:

• Производная суммы функций равна сумме производных:

(f + g)′=f′ + g ′

• Производная произведения функций находится по формуле:

(f*g)′ =f′*g + f*g′

• Коэффициент можно выносить за знак производной:

(k*( f(x))′=k*(f(x))′

• Производная частного вычисляется по формуле:

• Производная сложной функции:

(f (g))′ = f ′*g′

Описать сложную функцию можно примерно так:

Функция является сложной, если в ней над аргументом произведено более одного действия, это функция от функции. Представить себе сложную функцию можно, вспомнив, как выглядит матрёшка – обыкновенная матрёшка!

.

Чтобы найти производную сложной функции, надо найти производные всех функций, входящих в данную, и их перемножить.

Пример:

Можно поступить так: пусть u₁ = , u₂ = , u₃ = , u₄ = .

Тогда

Это правило называют иногда «правило цепочек»

Выполните задание самостоятельно:

Теорема: (о производной обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, не равной 0, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Проще: производные обратных функций обратны, т. е.

На основе этой теоремы получены формулы произвoдных обратных тригонометрических функций:

у	arcsin x	arccos x	arctg x	arcctg x
у′				-

Пример:

y = arcsin (2x), y′= =

(Обратите внимание здесь на то, что данная функция – сложная!)