Урок № 30

(згідно робочої навчальної програми)

Множини. Дії над множинами

Питання для вивчення:

1. Поняття множин.

2. Опис множин.

3. Операції над множинами.

Поняття множин. Множина - це структурований тип даних, який представляє собою набір взаємозалежних за якоюсь ознакою або групі ознак об'єктів, які можна розглядати як єдине ціле. Кожен об'єкт в Множині називається елементом множини. Всі елементи множини повинні належати одному з порядкових типів, що містить не більше 256 значень. Цей тип називається базовим типом множини. Базовий тип задається діапазоном або перерахуванням. Область значень типу Множина - набір всіляких підмножин, складених з елементів базового типу. У виразах на мові Паскаль значення елементів множини вказуються в квадратних дужках: [1,2,3,4], ['а', 'b', 'з'], ['a' .. 'z']. Якщо множина не має елементів, вона називається порожньою і позначається як []. Кількість елементів множини називається її потужністю. Множина може приймати всі значення базового типу. Базовий тип не повинен перевищувати 256 можливих значень. Тому базовим типом множини можуть бути byte, char, boolean і похідні від них типи. Множина в пам'яті зберігається як масив бітів, в якому кожен біт вказує чи є елемент належить оголошеному Множинаі чи ні. Максимальне число елементів множини 256, а дані типу Множина можуть займати не більше 32 байт.

Число байтів, що виділяються для даних типу Множина, обчислюється за формулою:

ByteSize = (max div 8) - (min div 8) + 1,

де max і min - верхня і нижня межі базового типу даної множини.

Номер байта для конкретного елемента Е обчислюється за формулою:

ByteNumber = (E div 8) - (min div 8),

номер біта всередині цього байта за формулою:

BitNumber = E mod 8

Не має значення порядок запису елементів множини всередині конструктора.

Наприклад, [1, 2, 3] та [3, 2, 1] - це еквівалентні множини.

Кожен елемент в Множині враховується тільки один раз. Тому Множина [1,2, 3, 4, 2, 3, 4, 5] еквівалентно [1 .. 5].

Опис множин. Змінні множинного типу описуються так:

Var <ідентифікатор>: set of <базовий тип>;

Наприклад:

Var A, D: Set Of Byte;

B: Set Of 'a' .. 'z';

C: Set Of Boolean;

Не можна вводити значення у множинну змінну процедурою введення і виводити процедурою виведення.

Множинна змінна може отримати конкретне значення тільки в результаті виконання оператора присвоювання:

<Множинна змінна>: = <множинний вираз>;

Наприклад:

A: = [50, 100, 150, 200];

B: = ['m', 'n', 'k']; C: = [True, False];

D: = A;

Крім того, вирази можуть включати в себе операції над множинами.

Операції над множинами. Об'єднанням двох множин A і B називається множина, що складається з елементів, що входять хоча б в одне з множин A чи B. Знак операції об'єднання в Паскалі «+».

Приклади:

1. [1, 2, 3, 4] + [3, 4, 5, 6] => [1, 2, 3, 4, 5, 6]

2. [] + ['a' .. 'z'] + ['A' .. 'E', 'k'] => ['A' .. 'E', 'a' .. 'z' ]

3. [5 <4, true and false] + [true] => [false, true]

Перетином двох множин A і B називається множина, що складається з елементів, одночасно входять в Множина A і в Множина B.

Знак операції перетину в Паскалі «*».

Приклади:

1. [1, 2, 3, 4] * [3, 4, 5, 6] => [3, 4]

2. ['a' .. 'z'] * ['A' .. 'E', 'k'] => ['k']

3. [5 <4, true and false] * [true] => []

Різницею двох множин A і B називається множина, що складається з елементів множини A, що не входять в Множину B.

Приклади:

1a) [1, 2, 3, 4] - [3, 4, 5, 6] => [1, 2]

1b) [3, 4, 5, 6] - [1, 2, 3, 4] => [5, 6]

2a) ['a' .. 'z'] - ['A' .. 'E', 'k'] => ['a' .. 'j', 'i' .. 'z']

2b) ['A' .. 'E', 'k'] - ['a' .. 'z'] => ['A' .. 'E']

3a) [5 <4, true and false] - [true] => [false]

3b) [true] - [5 <4, true and false] => [true]

Операція входження. Це операція, що встановлює зв'язок між множиною і скалярною величиною, тип якої співпадає з базовим типом множини. Якщо x - така скалярна величина, а M - Множина, то операція входження записується так: x in M. Результат - логічна величина true, якщо значення x входить в Множину M, і false - в протилежному випадку.

Наприклад, 4 in [3, 4, 7, 9] - true, 5 in [3, 4, 7, 9] — false.

Використовуючи дану операцію, можна не тільки працювати з елементами множини, але і, навіть якщо в рішенні задачі явно не використовуються Множини, деякі логічні вирази можна записати більш лаконічно.

Натуральне число n є двозначним. Замість виразу (n> = 10) and (n <= 99) можна записати n in [10 .. 99].

Символ c є російською буквою. Замість виразу (c> = 'А') and (c <= 'Я') or (c> = 'а') and (c <= 'п') or (c> = 'р') and (c < = 'я') пишемо c in ['А' .. 'Я', 'а' .. 'П', 'р' .. 'Я'] і т.д.

Додати новий елемент в Множину можна з використанням операції об'єднання. Наприклад, a: = a + [5] Для цих же цілей в Turbo Pascal 7.0 призначена процедура Include: include (M, A) M - Множина, A - змінна того ж типу, що й елементи множини M. Той же приклад можна записати так: Include (a, 5)

Виключити елемент з Множини можна за допомогою операції «різницю множин». Наприклад, a: = a-[5] Для цих же цілей в Turbo Pascal 7.0 призначена процедура Exclude: exclude (M, A) M - Множина, A - змінна того ж типу, що й елементи множини M. Той же приклад можна записати так: Exclude (a, 5).

Завдання 1. У місті є n вищих навчальних закладів, які здійснюють закупівлю комп'ютерної техніки. Є шість комп'ютерних фірм: «Діалог», «Avicom», «Нетан», «Сервер», «Декада», «Dega.ru». Відповісти на наступні питання:

1. у яких фірмах закупівля проводилася кожним з вузів?

2. в яких фірмах закупівля проводилася хоча б одним з вузів?

3. в яких фірмах жоден з вузів не закуповував комп'ютери?

Вирішимо завдання з використанням множин. Для зручності подальших маніпуляцій у порядку проходження пронумеруємо комп'ютерні фірми, починаючи з одиниці. Занесемо інформації про місце закупівель комп'ютерів кожним з вузів в окрему Множину.

Відповідь на перше питання можна отримати, виконавши перетин всіх таких множин.

Відповідь на друге питання - результат об'єднання множин.

І, нарешті, на останнє - різниця Множинаі всіх фірм і Множинаі фірм, де хоча б один вуз робив покупки.

program ex_set_1;

type firma = set of 1 .. 6;

v = array [0 .. 20] of firma;

const f: array [1 .. 6] of string [10] = ('Діалог', 'Avicom', 'Нетан', 'Сервер', 'Декада', 'Dega.ru');

{Процедура введення інформації про закупівлю комп'ютерів в черговий

фірмі}

procedure vvod (var a: firma);

var i: byte; ans: 0 .. 1;

begin

a: = [];

for i: = 1 to 6 do

begin

Write ('Вуз купував комп'ютери в фірмі', f [i], '(1 - так, 0 - ні)?'); ReadLn (ans);

if ans = 1 then a: = a + [i]

end;

end;

{Процедура виведення елементів масиву, номери яких містяться в Множині} procedure

Print (a: firma);

var i: byte;

begin

for i: = 1 to 6 do if i in a then write (f [i]: 10);

writeln

end;

{Процедура, яка дає відповідь на перше питання}

procedure Rez1 (a: v; n: byte; var b: firma);

var i: byte;

begin

b: = [1 .. 6];

for i: = 0 to n-1 do b: = b * a [i];

end;

{Процедура, яка дає відповідь на друге питання}

procedure Rez2 (a: v; n: byte

firma);

var i: byte;

begin

b:

for i: = 0 to n-1 do b: = b + a [i];

end;

var a: v; n, i: byte; c: firma;

begin

write ('Скільки ВНЗ робили закупівлю?'); readln (n);

for i: = 0 to n-1 do vvod (a [i]);

Rez1 (a, n, c);

writeln ('Кожен з вузів закупив комп'ютери у фірмах:');

Print (c);

Rez2 (a, n, c);

writeln ('Хоча б один з вузів закупив комп'ютери у фірмах:');

Print (c);

writeln ('Жоден з вузів не закупив комп'ютери у фірмах:'); Print ([1 .. 6]-c);

end.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Що таке Множина?

2. Чому Множина є структурованим типом даних?

3. Як зберігається Множина в пам'яті ЕОМ? Який максимальний об'єм оперативної пам'яті може бути відведений під зберігання однієї Множини?

4. Які операції можна виконувати над множинами?

5. Як додати елемент в Множину?

6. Як виключити елемент з Множини?

7. Як вивести елементи множини?

Література:

Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курстор. – М: Диалектика, 1997. – 487 стор. 103-107