Тема 8. Двойственные задачи линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования (ЛП), которую назовем исходной, можно поставит в соответствие некоторую другую задачу ЛП, называемую двойственной к ней.

Вместе взятые, эти задачи образуют пару взаимнодвойственных задач и любую из них можно рассматривать как исходную. Решая одну из этих задач, можно получить решение и другой задачи.

Двойственная задача - это вспомогательная задача ЛП, получаемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной задачи. Сформулируем правила построения двойственной задачи:

1. Если целевая функция f исходной задачи максимизируется, то целевая функция z двойственной задачи – минимизируется и наоборот.

2. Количество ограничений (m) исходной задачи равно количеству переменных двойственной задачи, а количество переменных (n) исходной задачи равно количеству ограничений двойственной.

Переменные двойственной задачи обозначим y_i (i=1,2, m).

3. Поскольку переменные исходной задачи связаны с ограничениями двойственной, то каждой переменной x_j 0 соответствует в двойственной задаче ограничения вида « » (f→max) или « » (f→min) и наоборот.

4. Каждой переменной x_j неограниченной по знаку, соответствует ограничение вида «=» двойственной задачи, и наоборот.

5. Свободные члены ограничений исходной задачи b_i (i=1,2..m) в двойственной задаче являются коэффициентами при переменных y_i (i=1,2, m) в целевой функции z . Коэффициенты c_j (j=1,2 n) при переменных x_j (j=1,2 n) в целевой функции исходной задачи являются свободными членами ограничений двойственной.

6. Матрица А коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи в двойственной задаче транспонируется А^Т.

Тема 8.1. Взаимно-двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Исходная задача	Двойственная задача
1. Максимизация функции f	1.Минимизация функции z
2.Количеcтво ограничений m	2. Количество переменных
3.Переменные xj (j=1,2 n) i-ое ограничение вида « »	3. Количеcтво ограничений n j-ое ограничение вида « »
4. Свободные члены ограничений bi Коэффициенты при xj в целевой функции cj	4. Коэффициенты при yi в целевой функции z (bi) Свободные члены ограничений (cj)
5.Матрица коэффициентов при неизвестных в ограничениях (А)	5. Транспонированная матрица коэффициентов при неизвестных в ограничениях (АТ).

Рассмотрим в общем виде одну из частных задач ЛП, которую будем считать исходной

Двойственная к ней будет иметь вид:

Приведем частные виды исходных задач ЛП в матричном виде и соответствующие им двойственные задачи.

	Исходная задача	Двойственная задача
1			Симметричные задачи
2
3			Несимметричные задачи
4