Тема 7. Симплексный метод

Симплексный метод (симплекс-метод) является универсальным методом решения задач линейного программирования. Из основных теорем линейного программирования следует, что если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует, хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений.

Геометрический смысл симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее или, по крайней мере не худшее значение, до тех пор пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод о том, что задача не имеет решения.

Для решения задачи симплекс-методом необходимо привести её к каноническому виду и определить исходное допустимое базисное решение. Отталкиваясь от этого решения с помощью алгоритма симплекс-метода, приходят к оптимальному решению или к выводу о том, что задача не имеет решения.

Тема 7.1 Алгоритм симплексного метода

1. Приводим задачу к каноническому виду

2. Выбираем базисные переменные. У базисных переменных должен быть единичный вектор-столбец.

3. Полагая небазисные переменные равные нулю, находим значения базисных переменных. Это будет первое базисное решение и значение целевой функции f.

4.Составляем таблицу, которая имеет вид:

Номер уравнения	Базисные перемен- ные	Значения базисных переменных (столбец свободных членов)	Небазис- ные перемен-ные	Небазис-ные перемен-ные	Небазис-ные перемен-ные
0	f			…
1
2
….
m

При записи в таблицу оптимизируемую функцию записывают в таком же виде, что и ограничения.

Если в нулевой строке все коэффициенты при небазисных переменных , то найденное решение оптимально. В противном случае для нахождения нового базисного решения необходимо выбрать переменную, вводимую в базис (т.е. выбрать ведущий столбец) и переменную, выводимую из базиса (т.е. выбрать ведущую строку).

5. Для выбора ведущего столбца (переменной вводимой в базис) среди коэффициентов небазисных переменных в 0-ом уравнении (в целевой функции) выбираем наименьший, и эту переменную вводим в базис.

Для выбора переменной выводимой из базиса (выбор ведущей строки) рассматриваем положительные отношения столбца свободных членов к ответствующим элементам ведущего столбца. Строка, отвечающая наименьшему отношению, будет ведущей.

6. Из уравнения, отвечающего ведущей строке, находим выражение для переменной, вводимой в базис и подставляем его в остальные уравнения.

7. В результате получилась новая система уравнений, и процесс повторяется.